Faça o que se pede
Calcule o valor da expressão (1-12) cdot(1-13) cdot(1-14) cdot ldots cdot(1-1n) para todos os inteiros n >= 2

Passo 1

A questão pede para calcular a expressão prodk=2^nl(1-tfrac1kr) para inteiros n>=2. O conteúdo envolve produtos telescópicos e manipulação de fatoriais.

Passo 2

Primeiro, note que cada termo do produto pode ser reescrito como
1-1k=k-1k
Logo, a expressão original fica
prodk=2^nl(1-tfrac1kr)=prodk=2^nk-1k

Passo 3

Para ver o telescópio, expanda o produto:
12cdot23cdot34cdotsn-1n
Observe que há cancelamento de todos os fatores intermediários. Alternativamente, escrevendo em termos de fatoriais:
1cdot2cdot3cdots(n-1)2cdot3cdot4cdots n= (n-1)!n!

Passo 4

Como n!=(n-1)!cdot n, a fração simplifica para 1/n.

Resposta

1n

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