(2,5 pontos) Sejam os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & ? \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \text { e } W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & z \end{array}\right]
Utilizando a regra de Cramer, determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogonais. Encontre os vetores unitários correspondentes para \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1)
e três matrizes
U=\begin{pmatrix} x & 1 & 2\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix} 1 & 1 & ?\\\\ 0 & y & 1\\\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix},\quad W=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 0 & z \end{pmatrix}.
Para obter \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} e impor que esses três vetores sejam mutuamente ortogonais, precisamos conhecer todos os elementos das matrizes.

Passo 2

Na matriz V o elemento marcado por “?” (primeira linha, terceira coluna) não foi fornecido. Sem esse valor não há como calcular \tilde{\boldsymbol{v}} de forma completa, nem montar os produtos internos \tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\tilde{\boldsymbol{v}}, \tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\tilde{\boldsymbol{w}} e \tilde{\boldsymbol{v}}\cdot\tilde{\boldsymbol{w}}.

Resposta

Não é possível resolver o exercício pois falta o valor do elemento “?” na matriz V. Sem esse dado não se consegue determinar os vetores transformados nem impor as condições de ortogonalidade.

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