As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 0 & x & 4 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 0 & x & 4 \\\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
e pede escolher x de modo que o sistema A\mathbf{v}=\mathbf{b} tenha 0 soluções ou infinitas soluções, conforme \mathbf{b}. Sabemos que isso ocorre exatamente se A for singular, isto é, se
\det(A)=0.

Passo 2

Para calcular \det(A) expandimos pela primeira linha:
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}x&4\\\ 4&3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&3\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&4\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}x&4\\\ 4&3\end{pmatrix}=3x-16,\quad \det\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&3\end{pmatrix}=0-4=-4,\quad \det\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&4\end{pmatrix}=0-x=-x.

Passo 3

Substituindo,
\det(A)=3(3x-16)-2(-4)+1(-x) =9x-48+8-x =8x-40.
Para ser singular precisamos de
8x-40=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5.

Passo 4

Com x=5, a matriz fica singular e tem posto \mathrm{rank}(A)=2 (por exemplo, o menor de ordem 2 formado pelas linhas 1 e 3 e colunas 1 e 2 é \det\small\begin{pmatrix}3&2\\\ 1&4\end{pmatrix}=10\neq0). Logo:
  • Se \mathbf{b} estiver no espaço‐coluna de A, o sistema terá infinitas soluções (grau de liberdade 1).
  • Se \mathbf{b} não estiver, não haverá solução.

Resposta

x=5

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