Questão 4 [2 pontos]
Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T\left(\binom{x}{y}\right)=\binom{2 x+y}{3 x-y}
Determine a lei de formação matricial de T, ou seja, encontre a matriz A tal que:
T(\vec{v})=A \vec{v}
para todo \vec{v} \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T\bigl(\binom{x}{y}\bigr)=\binom{2x+y}{3x-y},
e pede a matriz A tal que T(\vec v)=A\vec v. O conteúdo é transformação linear e matriz associada.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2, basta calcular as imagens dos vetores da base \vec e_1=\binom{1}{0} e \vec e_2=\binom{0}{1}.

Passo 3

Aplicando T a \vec e_1 e \vec e_2:
T(\vec e_1)=T\bigl(\binom{1}{0}\bigr)=\binom{2\cdot1+0}{3\cdot1-0}=\binom{2}{3},
T(\vec e_2)=T\bigl(\binom{0}{1}\bigr)=\binom{2\cdot0+1}{3\cdot0-1}=\binom{1}{-1}.

Passo 4

A matriz A que representa T tem como colunas as imagens de \vec e_1 e \vec e_2. Logo,
A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.

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