(a) ( 0,8 ponto) Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogonais.
(b) ( 0,8 ponto) Os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Explique.
(c) ( 0,4 ponto) Encontre o vetor unitário correspondente a \tilde{\boldsymbol{v}}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(-2,0,1), \boldsymbol{v}=(3,1,3), \boldsymbol{w}=(-1,-1,1) e as matrizes com incógnitas
Queremos (a) escolher x,y,z de modo que \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} sejam mutuamente ortogonais; (b) verificar se formam base de \mathbb R^3; (c) obter o vetor unitário de \tilde{\boldsymbol{v}}.
Substituindo y e z nas duas primeiras em na terceira e resolvendo, obtém-se x=-\tfrac{109}{54}, daí y=-\tfrac{415}{27} e z=-\tfrac{7}{27}.
Passo 4
Com esses valores, \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} são todos não nulos e mutuamente ortogonais em \mathbb R^3, logo são linearmente independentes e formam base.
Passo 5
Para o vetor unitário de \tilde{\boldsymbol{v}}=(10,\,-\tfrac{334}{27},\,12) calculamos