(2,0 pontos) Sejam os vetores \boldsymbol{u}=(-2,0,1), \boldsymbol{v}=(3,1,3) e \boldsymbol{w}=(-1,-1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \mathrm{e} \quad W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & z \end{array}\right] .
(a) ( 0,8 ponto) Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogonais.
(b) ( 0,8 ponto) Os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Explique.
(c) ( 0,4 ponto) Encontre o vetor unitário correspondente a \tilde{\boldsymbol{v}}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(-2,0,1), \boldsymbol{v}=(3,1,3), \boldsymbol{w}=(-1,-1,1) e as matrizes com incógnitas
U=\begin{pmatrix}x&1&2\\\ 0&3&1\\\ 2&1&0\end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 0&y&1\\\ 1&3&2\end{pmatrix},\quad W=\begin{pmatrix}2&1&2\\\ 1&3&1\\\ 2&0&z\end{pmatrix}.
Queremos (a) escolher x,y,z de modo que \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} sejam mutuamente ortogonais; (b) verificar se formam base de \mathbb R^3; (c) obter o vetor unitário de \tilde{\boldsymbol{v}}.

Passo 2

Calculemos os vetores transformados:
\tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u} =\begin{pmatrix} x&1&2\\\ 0&3&1\\\ 2&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\bigl(-2x+2,\;1,\;-4\bigr),
\tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 1&1&2\\\ 0&y&1\\\ 1&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix} =(10,\;y+3,\;12),
\tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} =\begin{pmatrix} 2&1&2\\\ 1&3&1\\\ 2&0&z \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} =(-1,\;-3,\;z-2).

Passo 3

Impondo ortogonalidade:
\tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\tilde{\boldsymbol{v}}=0 \;\Longrightarrow\; (-2x+2)\cdot10+1\cdot(y+3)+(-4)\cdot12=0 \;\Longrightarrow\; y=20x+25,
\tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\tilde{\boldsymbol{w}}=0 \;\Longrightarrow\; (-2x+2)(-1)+1(-3)+(-4)(z-2)=0 \;\Longrightarrow\; z=\frac{2x+3}{4},
\tilde{\boldsymbol{v}}\cdot\tilde{\boldsymbol{w}}=0 \;\Longrightarrow\; 10(-1)+(y+3)(-3)+12(z-2)=0.
Substituindo y e z nas duas primeiras em na terceira e resolvendo, obtém-se x=-\tfrac{109}{54}, daí y=-\tfrac{415}{27} e z=-\tfrac{7}{27}.

Passo 4

Com esses valores, \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} são todos não nulos e mutuamente ortogonais em \mathbb R^3, logo são linearmente independentes e formam base.

Passo 5

Para o vetor unitário de \tilde{\boldsymbol{v}}=(10,\,-\tfrac{334}{27},\,12) calculamos
\|\tilde{\boldsymbol{v}}\| =\sqrt{10^2+\Bigl(-\tfrac{334}{27}\Bigr)^2+12^2} =\frac{\sqrt{289432}}{27}.
Então o vetor unitário é
\hat{\boldsymbol{v}} =\frac{\tilde{\boldsymbol{v}}}{\|\tilde{\boldsymbol{v}}\|} =\Bigl(\frac{270}{\sqrt{289432}},\;-\frac{334}{\sqrt{289432}},\;\frac{324}{\sqrt{289432}}\Bigr).

Resposta

(a) x=-\tfrac{109}{54}, y=-\tfrac{415}{27} e z=-\tfrac{7}{27}.
(b) Sim. São três vetores ortogonais não nulos em \mathbb R^3, logo formam base.
(c)
\hat{\boldsymbol{v}} =\Bigl(\frac{270}{\sqrt{289432}},\;-\frac{334}{\sqrt{289432}},\;\frac{324}{\sqrt{289432}}\Bigr).

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