(2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.

Passo 1

O enunciado diz que \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} é um conjunto de vetores linearmente independentes. Definimos então
\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3},\quad \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3},\quad \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},
e queremos decidir se \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente independente ou dependente. Para isso, vamos aplicar a definição de independência linear, que exige ver se só a combinação trivial zera esses vetores.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\,\boldsymbol{u}_{1}+b\,\boldsymbol{u}_{2}+c\,\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{0}.
Substituindo as definições de \boldsymbol{u}_{i}, obtemos
a(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}) +b(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3}) +c(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}) =\boldsymbol{0}.

Passo 3

Agrupando pelos vetores \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}, vem
(b+c)\,\boldsymbol{v}_{1} \;+\;(a+c)\,\boldsymbol{v}_{2}\;+\;(a-b)\,\boldsymbol{v}_{3} =\boldsymbol{0}.
Como \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} é independente, cada coeficiente deve ser zero:
\begin{cases} b+c = 0,\\\ a+c = 0,\\\ a-b = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. De a-b=0 segue b=a.
  2. De b+c=0 vem c=-b=-a.
  3. A equação a+c=0 fica a+(-a)=0, que é verdadeira para todo a.
Logo, temos infinitas soluções não triviais do tipo
(a,b,c) = \bigl(a,\;a,\;-a\bigr),\quad a\neq 0.
Isso mostra que existe combinação linear não trivial que anula \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}.

Resposta

\{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é um conjunto de vetores linearmente dependentes.

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