( 3,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre o consumo dos bens 1 e 2 podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\ln \left(\frac{1}{x_{1}}\right)-\ln \left(\frac{1}{x_{2}}\right). O consumidor está sujeito à sua restrição orçamentária p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq w, onde p_{1}, p_{2}, w>0.
(a) (1,0 ponto) Resolva o problema de maximização de utilidade do consumidor pelo método de Lagrange.
(b) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em w sobre o valor de u\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right) ? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange? Verifique.
(c) (1,0 ponto) Verifique se a condição de segunda ordem é satisfeita.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar as preferências
u(x_{1},x_{2}) = -\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x_{1}}\bigr)\;-\;\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x_{2}}\bigr)
sujeito à restrição orçamentária
p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} \le w,
com p_{1},p_{2},w>0. Note que
-\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x_{1}}\bigr) = \ln x_{1}, \quad -\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x_{2}}\bigr) = \ln x_{2},
logo u(x_{1},x_{2}) = \ln x_{1} + \ln x_{2}. Vamos usar o método de Lagrange para resolver.

Passo 2

Formamos a função Lagrangeana
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = \ln x_{1} + \ln x_{2} + \lambda\bigl(w - p_{1}x_{1} - p_{2}x_{2}\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}} = \frac{1}{x_{1}} - \lambda p_{1} = 0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}} = \frac{1}{x_{2}} - \lambda p_{2} = 0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = w - p_{1}x_{1} - p_{2}x_{2} = 0.

Passo 3

Das duas primeiras igualdades obtemos
\frac{1}{x_{1}} = \lambda p_{1}, \quad \frac{1}{x_{2}} = \lambda p_{2} \;\;\Longrightarrow\;\; x_{1} = \frac{1}{\lambda p_{1}}, \quad x_{2} = \frac{1}{\lambda p_{2}}.
Substituindo na restrição ativa p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w, vem
p_{1}\frac{1}{\lambda p_{1}} + p_{2}\frac{1}{\lambda p_{2}} = \frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda} = w \;\;\Longrightarrow\;\; \lambda = \frac{2}{w}.
Logo as demandas ótimas são
x_{1}^{*} = \frac{1}{(\,2/w\,)p_{1}} = \frac{w}{2\,p_{1}}, \quad x_{2}^{*} = \frac{w}{2\,p_{2}}.

Passo 4

O valor máximo da utilidade é
u^{*} = \ln\!\bigl(x_{1}^{*}\bigr) + \ln\!\bigl(x_{2}^{*}\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{w}{2p_{1}}\Bigr) + \ln\!\Bigl(\frac{w}{2p_{2}}\Bigr) = 2\ln w \;-\;\ln\bigl(4p_{1}p_{2}\bigr).
Pela regra do envelope, o impacto de um aumento marginal em w é
\frac{d u^{*}}{d w} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w} = \lambda = \frac{2}{w}.
Note que também poderíamos derivar diretamente
\frac{d u^{*}}{d w} = \frac{d}{d w}\bigl[2\ln w - \ln(4p_{1}p_{2})\bigr] = \frac{2}{w},
confirmando que \tfrac{d u^{*}}{d w}=\lambda.

Passo 5

Para verificar a condição de segunda ordem, note que a função utilidade u(x_{1},x_{2})=\ln x_{1}+\ln x_{2} é estritamente côncava: sua matriz Hessiana é
\nabla^{2}u = \begin{pmatrix} -\,\tfrac{1}{x_{1}^{2}} & 0\\\\ 0 & -\,\tfrac{1}{x_{2}^{2}} \end{pmatrix},
que é negativa definida para x_{1},x_{2}>0. Assim, a solução encontrada é de fato um máximo global.

Resposta

(a) x_{1}^{*} = \tfrac{w}{2p_{1}},\quad x_{2}^{*} = \tfrac{w}{2p_{2}},\quad \lambda = \tfrac{2}{w}.
(b) \displaystyle \frac{d u^{*}}{d w} = \frac{2}{w} = \lambda.
(c) A Hessiana de u é negativa definida, logo a condição de segunda ordem é satisfeita.

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