( 3,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre o consumo dos bens 1 e 2 podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\ln \left(\frac{1}{x_{1}}\right)-\ln \left(\frac{1}{x_{2}}\right). O consumidor está sujeito à sua restrição orçamentária p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq w, onde p_{1}, p_{2}, w>0.
(a) (1,0 ponto) Resolva o problema de maximização de utilidade do consumidor pelo método de Lagrange.
(b) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em w sobre o valor de u\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right) ? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange? Verifique.
(c) (1,0 ponto) Verifique se a condição de segunda ordem é satisfeita.
Para verificar a condição de segunda ordem, note que a função utilidade u(x_{1},x_{2})=\ln x_{1}+\ln x_{2} é estritamente côncava: sua matriz Hessiana é
que é negativa definida para x_{1},x_{2}>0. Assim, a solução encontrada é de fato um máximo global.
Resposta
(a) x_{1}^{*} = \tfrac{w}{2p_{1}},\quad x_{2}^{*} = \tfrac{w}{2p_{2}},\quad \lambda = \tfrac{2}{w}.
(b) \displaystyle \frac{d u^{*}}{d w} = \frac{2}{w} = \lambda.
(c) A Hessiana de u é negativa definida, logo a condição de segunda ordem é satisfeita.