Seja F o operador linear de M_{2}(\mathbb{R}) definido por F(X)=B X, \forall X \in M_{2}(\mathbb{R}), onde B \in M_{2}(\mathbb{R}).
No caso de B=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) determine K e r(F) e uma base da imagem de F.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
F\colon M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}),\quad F(X)=B\,X,
com
B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]2 & -1\end{pmatrix}.
Precisamos achar \ker(F) e uma base de \mathrm{Im}(F). Para isso, vamos parametrizar uma matriz genérica X\in M_{2}(\mathbb{R}) e ver quando B\,X=0, depois usar a invertibilidade de B para a imagem.]

Passo 2

Seja
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt]x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.
Então
B\,X =\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]2&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt]x_{21}&x_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot x_{11}+0\cdot x_{21}&1\cdot x_{12}+0\cdot x_{22}\\[4pt] 2\cdot x_{11}-1\cdot x_{21}&2\cdot x_{12}-1\cdot x_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{11}&x_{12}\\[4pt] 2x_{11}-x_{21}&2x_{12}-x_{22} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para X\in\ker(F)\) exigimos \(B\,X=0\). Igualando cada entrada a zero vem o sistema \[\begin{cases} x_{11}=0,\\[3pt] x_{12}=0,\\[3pt] 2x_{11}-x_{21}=0,\\[3pt] 2x_{12}-x_{22}=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações já temos x_{11}=0\] e \(x_{12}=0. Substituindo nas outras duas segue x_{21}=0 e x_{22}=0.]

Passo 4

Portanto a única solução é a matriz nula, isto é
\ker(F)=\{0\}.

Passo 5

Como \det(B)=1\cdot(-1)-0\cdot2=-1\neq0, a matriz B é invertível. Logo, a aplicação X\mapsto B\,X é bijetora em M_{2}(\mathbb{R}) e
\mathrm{Im}(F)=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 6

Uma base de \mathrm{Im}(F)=M_{2}(\mathbb{R}) é a base canônica
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[3pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \ker(F)=\{0\}.
Uma base de \mathrm{Im}(F) é \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}.

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