Precisamos achar \ker(F) e uma base de \mathrm{Im}(F). Para isso, vamos parametrizar uma matriz genérica X\in M_{2}(\mathbb{R}) e ver quando B\,X=0, depois usar a invertibilidade de B para a imagem.]
Para X\in\ker(F)\) exigimos \(B\,X=0\). Igualando cada entrada a zero vem o sistema
\[\begin{cases} x_{11}=0,\\[3pt] x_{12}=0,\\[3pt] 2x_{11}-x_{21}=0,\\[3pt] 2x_{12}-x_{22}=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações já temos x_{11}=0\] e \(x_{12}=0. Substituindo nas outras duas segue x_{21}=0 e x_{22}=0.]
Passo 4
Portanto a única solução é a matriz nula, isto é
\ker(F)=\{0\}.
Passo 5
Como \det(B)=1\cdot(-1)-0\cdot2=-1\neq0, a matriz B é invertível. Logo, a aplicação X\mapsto B\,X é bijetora em M_{2}(\mathbb{R}) e
\mathrm{Im}(F)=M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 6
Uma base de \mathrm{Im}(F)=M_{2}(\mathbb{R}) é a base canônica