Um estudo avaliou a eficácia de um novo probiótico (ProVital) no ganho de peso diário de bezerros leiteiros. Sabe-se que: o ganho de peso médio sem probiótico é 0.85 \mathrm{~kg} / \mathrm{dia}, o desvio padrão populacional é 0.15 \mathrm{~kg} / dia e a amostra com 18 bezerros) obteve média de 0.92 \mathrm{~kg} / \mathrm{dia}. Teste a hipótese de que o ganho médio com ProVital é maior que 0.85 \mathrm{kg} / \mathrm{dia}(\alpha=1 \%). O probiótico tem efeito significativo?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar se o probiótico ProVital aumenta o ganho médio diário de peso dos bezerros em relação ao valor conhecido de 0,85,kg/dia. Temos:
– Média populacional sob H_0: \mu_0 = 0,85,kg/dia
– Desvio‐padrão populacional: \sigma = 0,15,kg/dia
– Tamanho da amostra: n = 18
– Média amostral observada: \bar{x} = 0,92,kg/dia
– Significância: \alpha = 0,01
O teste é unilateral à direita (queremos \mu > 0,85) e, como \sigma é conhecido, usaremos o teste- Z.

Passo 2

Escrevemos a estatística de teste Z como
Z \;=\;\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 3

Substituindo os valores:
Z \;=\;\frac{0,92 - 0,85}{0,15/\sqrt{18}} \;=\;\frac{0,07}{0,15/4{,}2426} \;\approx\;1{,}98.

Passo 4

Para \alpha=0,01 num teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{1-\alpha} \;=\; z_{0,99} \;\approx\; 2{,}33.
Rejeitamos H_0 se Z > 2{,}33.

Passo 5

Como Z \approx 1{,}98 < 2{,}33, não há evidência suficiente para rejeitar H_0 ao nível de 1\%. Portanto, concluímos que o ganho médio com ProVital não é estatisticamente maior que 0,85,kg/dia nesse nível de significância.

Resposta

O probiótico ProVital não tem efeito significativo sobre o ganho médio diário de peso ao nível \alpha=1\%.

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