Um estudo foi conduzido para avaliar a eficácia de um novo suplemento alimentar, Suplemento Z , no aumento da produção de leite em vacas. Sabe-se que a produção média de
leite sem o suplemento é de 20 litros por dia e um desvio padrão de 3 litros por dia. Em uma amostra de 15 vacas tratadas com o Suplemento Z, a produção média de leite foi de 22 litros por dia. Teste a hipótese de que a produção média de leite com o Suplemento Z é maior do que 20 litros por dia. Utilize um nível de significância de 5 \%. Qual é a sua decisão? O Suplemento Z é eficaz?

Passo 1

Resumindo o problema, queremos testar se o Suplemento Z eleva a produção média de leite acima de 20 L/dia. Aqui temos: produção média sem suplemento \mu_0=20 L/dia, desvio padrão populacional \sigma=3 L/dia (conhecido), tamanho da amostra n=15 e média amostral \bar x=22 L/dia. O nível de significância é \alpha=0{,}05. O conteúdo aplicado é o teste de hipótese para média populacional com \sigma conhecido, usando a estatística Z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu = \mu_0 = 20
H_1:\mu > 20
e definimos \alpha=0{,}05.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste Z pela fórmula
Z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
Substituindo os valores:
Z = \frac{22 - 20}{3/\sqrt{15}} = \frac{2}{3/3{,}873} = \frac{2}{0{,}7746} \approx 2{,}58.

Passo 4

O valor crítico para um teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05 é
z_{1-\alpha} = z_{0{,}95} \approx 1{,}645.
Como Z \approx 2{,}58 > 1{,}645, caímos na região de rejeição de H_0. Alternativamente, o p-valor é
p = P(Z>2{,}58)\approx 0{,}005 < 0{,}05,
confirmando a rejeição de H_0.

Passo 5

Rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Isso indica evidência estatística de que a produção média de leite com o Suplemento Z é maior que 20 L/dia, ou seja, o suplemento é eficaz.

Resposta

Rejeita-se H_0; o Suplemento Z é eficaz em aumentar a produção média de leite.

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