Questão 4: (7 pts) Calcule
Use coordenadas polares para calcular \iint_{B} y^{2} d x d y, onde B=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 9, x \leq 0\right. e \left.y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{B} y^{2}\,dx\,dy, onde B é a parte do disco de raio 3 que satisfaz x^{2}+y^{2}\le 9, x\le 0 e y\ge 0.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A região B é o disco de raio 3 centrado na origem, cortado pelas condições x\le 0 e y\ge 0.\n
  • A função a integrar é y^{2}.\n
  • Devemos usar coordenadas polares para calcular a integral.\n
    O que a integral representa: soma (integral) do valor y^{2} sobre todos os pontos (x,y) em B. A seguir vamos transformar tudo para coordenadas polares e calcular passo a passo.

Passo 2

Revisão didática rápida: coordenadas polares e o elemento de área.\n
  • Em coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta), onde r\ge 0 é a distância ao origen e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.\n
  • As relações entre cartesianas e polares são \;x = r\cos\theta\; e \;y = r\sin\theta\;.\n
  • O elemento de área dx\,dy em coordenadas polares é \;dx\,dy = r\,dr\,d\theta\;. Vou explicar por que: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Isso é o chamado jacobiano da transformação polar.\n
    Exemplo curto para fixar: a área de um quarto de círculo de raio R é \int_{\theta=\pi/2}^{\pi}\int_{r=0}^{R} r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{2}}{4}. Isso confirma que o fator r é necessário para obter áreas corretas.

Passo 3

Descrever a região B em coordenadas polares.\n
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 9 vira \;r^{2}\le 9\Rightarrow 0\le r\le 3\;.\n
  • As condições x\le 0 e y\ge 0 correspondem ao segundo quadrante (incluindo eixos), cujo intervalo angular é \;\theta\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\;.\n
    Portanto, em polares a região B é \{(r,\theta): 0\le r\le 3,\\ \frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi\}.

Passo 4

Transformar a função integranda para polares.\n
  • Temos y = r\sin\theta, então \;y^{2} = (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta\;.\n
  • O elemento de área vira \;dx\,dy = r\,dr\,d\theta\;.\n
  • Multiplicando, a integranda completa em polares é \;y^{2}\,dx\,dy = r^{2}\sin^{2}\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta\;.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares.\n
A integral pedida fica
\iint_{B} y^{2}\,dx\,dy \;=\; \int_{\theta=\frac{\pi}{2}}^{\pi}\int_{r=0}^{3} r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Note que a integranda se separa em uma parte que depende só de r e outra que depende só de \theta: r^{3}\sin^{2}\theta = (r^{3})\cdot(\sin^{2}\theta). Isso permite separar a integral em produto de integrais.

Passo 6

Calcular a integral em r.\n
\int_{0}^{3} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4} = \frac{81}{4}.
Expliquei: para \int r^{n}\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}, aqui n=3.

Passo 7

Calcular a integral em \theta.\n
Usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}. Então
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}.
Agora avaliando nos limites:\n
  • Em \theta=\pi tem \theta - \frac{\sin(2\theta)}{2} = \pi - \frac{\sin(2\pi)}{2} = \pi - 0 = \pi.\n
  • Em \theta=\frac{\pi}{2} tem \theta - \frac{\sin(2\theta)}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}.\n
    Subtraindo e multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 8

Combinar os resultados e obter o valor final.\n
Multiplicando a parte em r pela parte em \theta:
\iint_{B} y^{2}\,dx\,dy = \left(\frac{81}{4}\right)\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{81\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{81\pi}{16}

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