Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações e o que é pedido:
- A equação é linear e de segunda ordem, com coeficientes que dependem de
. - Quer-se a solução geral
(duas constantes arbitrárias). - Não há condições iniciais ou contorno — vamos encontrar a solução geral.
Passo 2
Estratégia inicial e motivo da escolha das substituições (sem resolver ainda).
- A equação tem termos com
no denominador quando colocada na forma padrão, e o ponto é singular. Uma técnica útil é mudar a variável independente para reduzir a dependência em de forma mais simples. - Experiência com esse tipo de ODE mostra que a substituição
tende a simplificar termos que aparecem como (porque derivadas em transformam-se em derivadas em com potências de mais simples). - Vou então aplicar essa substituição passo a passo, explicando cada derivada.
Passo 3
Transformação para a variável
. Cálculo das derivadas usando regra da cadeia.
- Como
com , temos Como então . Logo onde . - Para a segunda derivada, primeiro derivamos
em relação a . Usando (porque ): - Agora substituímos
e na equação original: Lembrando , temos Simplificando termo a termo:
Passo 4
Eliminar o termo em primeira derivada por uma substituição do tipo
.
- Tomamos
. Vamos escolher para zerar o coeficiente de no que aparecerá. Calculemos as derivadas: - Substituindo em
e fatorando obtemos (apenas o resultado relevante para escolher ): - Para eliminar o termo em
basta escolher tal que , ou seja . - Com
o parêntese fica ou seja
Passo 5
Simplificar ainda mais através de escala em
e reduzir à equação de Bessel.
- Faça a escala
. Defina com . Como e , a equação para é onde agora o apóstrofo é derivada em relação a . - Para colocar esta equação na forma padrão da equação de Bessel, usa-se a substituição
Calculando e simplificando (feito passo a passo nos desenvolvimentos que levam ao mesmo tipo de transformação) obtemos para : - Esta é a equação de Bessel de ordem
(com parâmetro ). Logo a solução geral é onde e são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Retornar às variáveis originais e escrever a solução em forma elementar (usando fórmulas para Bessel de ordem metade).
- Voltando pelas substituições:
Agrupando: com constantes arbitrárias (constantes relacionadas linearmente com ). - Funções de Bessel de meia-ordem têm fórmulas em termos de senos e cossenos. Usando
e simplificando as constantes, obtém-se uma base de soluções expressa por funções elementares. Uma forma conveniente da solução geral, com constantes arbitrárias , é Aqui são constantes arbitrárias (pode-se verificar que estas duas funções são linearmente independentes e satisfazem a equação original).