Resolva as seguintes equações diferenciais:
2 x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
2 x y''-y'+2 y=0.
Informações e o que é pedido:
  • A equação é linear e de segunda ordem, com coeficientes que dependem de x.
  • Quer-se a solução geral y(x) (duas constantes arbitrárias).
  • Não há condições iniciais ou contorno — vamos encontrar a solução geral.

Passo 2

Estratégia inicial e motivo da escolha das substituições (sem resolver ainda).
  • A equação tem termos com x no denominador quando colocada na forma padrão, e o ponto x=0 é singular. Uma técnica útil é mudar a variável independente para reduzir a dependência em x de forma mais simples.
  • Experiência com esse tipo de ODE mostra que a substituição t=\sqrt{x},\qquad u(t)=y(x)=y(t^2)tende a simplificar termos que aparecem como 1/x (porque derivadas em x transformam-se em derivadas em t com potências de t mais simples).
  • Vou então aplicar essa substituição passo a passo, explicando cada derivada.

Passo 3

Transformação para a variável t=\sqrt{x}. Cálculo das derivadas usando regra da cadeia.
  • Como y(x)=u(t) com t=\sqrt{x}, temos \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.Como t=x^{1/2} então \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2t}. Logo y'=\frac{u'}{2t},onde u'=\dfrac{du}{dt}.
  • Para a segunda derivada, primeiro derivamos y'=\dfrac{u'}{2t} em relação a x. Usando d/dx=(1/(2t))d/dt (porque dx/dt=2t): y''=\frac{1}{2t}\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u'}{2t}\right) =\frac{1}{2t}\left(\frac{u''}{2t}-\frac{u'}{2t^2}\right) =\frac{u''}{4t^2}-\frac{u'}{4t^3}.
  • Agora substituímos y' e y'' na equação original: 2x y''-y'+2y=0.Lembrando x=t^2, temos 2t^2\!\left(\frac{u''}{4t^2}-\frac{u'}{4t^3}\right)-\frac{u'}{2t}+2u=0.Simplificando termo a termo: \frac{u''}{2}-\frac{u'}{2t}-\frac{u'}{2t}+2u=0 \quad\Longrightarrow\quad u''-\frac{2}{t}u'+4u=0.

Passo 4

Eliminar o termo em primeira derivada por uma substituição do tipo u=t^{k}w(t).
  • Tomamos u=t^{k}w. Vamos escolher k para zerar o coeficiente de w' no que aparecerá. Calculemos as derivadas: u' = k t^{k-1}w + t^{k}w',\qquad u''=k(k-1)t^{k-2}w + 2k t^{k-1}w' + t^{k}w''.
  • Substituindo em u''-\dfrac{2}{t}u'+4u=0 e fatorando t^{k-2} obtemos (apenas o resultado relevante para escolher k): t^{k-2}\Bigl[t^2 w'' + 2(k-1)t w' + (k^2-3k)w +4 t^2 w\Bigr]=0.
  • Para eliminar o termo em w' basta escolher k tal que 2(k-1)=0, ou seja k=1.
  • Com k=1 o parêntese fica t^2 w'' + (4t^2 -2) w =0,ou seja w'' +\left(4-\frac{2}{t^2}\right)w=0.

Passo 5

Simplificar ainda mais através de escala em t e reduzir à equação de Bessel.
  • Faça a escala s=2t. Defina z(s)=w(t) com s=2t. Como \dfrac{d}{dt}=2\dfrac{d}{ds} e \dfrac{d^2}{dt^2}=4\dfrac{d^2}{ds^2}, a equação para z(s) é z''+\left(1-\frac{2}{s^2}\right)z=0,onde agora o apóstrofo é derivada em relação a s.
  • Para colocar esta equação na forma padrão da equação de Bessel, usa-se a substituição z(s)=s^{1/2}\varphi(s).Calculando e simplificando (feito passo a passo nos desenvolvimentos que levam ao mesmo tipo de transformação) obtemos para \varphi: \varphi''+\frac{1}{s}\varphi' +\left(1-\frac{9}{4s^2}\right)\varphi=0.
  • Esta é a equação de Bessel de ordem \nu=\dfrac{3}{2} (com parâmetro 1). Logo a solução geral é \varphi(s)=A J_{3/2}(s)+B Y_{3/2}(s),onde J_{3/2} e Y_{3/2} são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, e A,B são constantes arbitrárias.

Passo 6

Retornar às variáveis originais e escrever a solução em forma elementar (usando fórmulas para Bessel de ordem metade).
  • Voltando pelas substituições: z(s)=s^{1/2}\varphi(s),\qquad w(t)=z(2t),\qquad u(t)=t\cdot w(t),\qquad y(x)=u(\sqrt{x}).Agrupando: y(x)=\sqrt{2}\,x^{3/4}\Bigl(C_1 J_{3/2}(2\sqrt{x})+C_2 Y_{3/2}(2\sqrt{x})\Bigr),com C_1,C_2 constantes arbitrárias (constantes relacionadas linearmente com A,B).
  • Funções de Bessel de meia-ordem têm fórmulas em termos de senos e cossenos. Usando J_{3/2}(s)=\sqrt{\frac{2}{\pi s}}\Bigl(\frac{\sin s}{s}-\cos s\Bigr), \qquad Y_{3/2}(s)=\sqrt{\frac{2}{\pi s}}\Bigl(-\frac{\cos s}{s}-\sin s\Bigr),e simplificando as constantes, obtém-se uma base de soluções expressa por funções elementares. Uma forma conveniente da solução geral, com constantes arbitrárias A,B, é y(x)=A\bigl(\sin(2\sqrt{x})-2\sqrt{x}\cos(2\sqrt{x})\bigr) +B\bigl(\cos(2\sqrt{x})+2\sqrt{x}\sin(2\sqrt{x})\bigr).Aqui A,B são constantes arbitrárias (pode-se verificar que estas duas funções são linearmente independentes e satisfazem a equação original).

Resposta

y(x)=A\bigl(\sin(2\sqrt{x})-2\sqrt{x}\cos(2\sqrt{x})\bigr)+B\bigl(\cos(2\sqrt{x})+2\sqrt{x}\sin(2\sqrt{x})\bigr)

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