(2 pontos) Supondo que z=z(x, y) é definida implicitamente por f\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0, mostre que
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá que z=z(x,y) é definida implicitamente pela equação
f\!\Big(\frac{x}{z},\frac{y}{z}\Big)=0.
O que ele pede (ou que devemos verificar) é a igualdade
x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=0.
Informações relevantes que temos à disposição:
  • A função f recebe dois argumentos (vou chamá‑los depois de u e v).
  • As variáveis independentes são x e y e z depende implicitamente de x e y.
  • A relação entre x,y,z é dada por f\big(\tfrac{x}{z},\tfrac{y}{z}\big)=0, para todas as posições onde z\neq 0.
    Nada mais é usado agora — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: faça uma mudança de notação para ficar mais claro. Defina
u=\frac{x}{z(x,y)},\qquad v=\frac{y}{z(x,y)}.
Assim a condição implícita fica simplesmente
f(u,v)=0,
onde u e v são funções de x e y pois dependem de z(x,y).
Agora preciso usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vou ensinar rápido a ideia: se F(u,v) é uma função de duas variáveis e u=u(x,y),\,v=v(x,y), então a derivada total de F(u(x,y),v(x,y)) em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}F(u(x,y),v(x,y))=F_u(u,v)\,u_x + F_v(u,v)\,v_x,
onde F_u e F_v são as derivadas parciais de F em relação a u e v, e u_x=\partial u/\partial x, v_x=\partial v/\partial x. O mesmo vale trocando x por y.
Vamos aplicar isso a f(u,v)=0. Antes, precisamos calcular u_x,u_y,v_x,v_y. Para isso uso a regra do quociente (ou produto com z^{-1}). Vou fazer passo a passo.

Passo 3

Calcule u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{x}{z}\right). Usando a regra do quociente:
u_x=\frac{z\cdot 1 - x\cdot z_x}{z^2}=\frac{z - x z_x}{z^2}=\frac{1}{z}-\frac{x}{z^2}z_x.
Calcule u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{x}{z}\right). Como x é tratado como constante ao derivar em relação a y,
u_y=\frac{0\cdot z - x\cdot z_y}{z^2}=-\frac{x}{z^2}z_y.
Analogamente para v=\dfrac{y}{z}:
v_x=\frac{0\cdot z - y\cdot z_x}{z^2}=-\frac{y}{z^2}z_x,
v_y=\frac{z\cdot 1 - y\cdot z_y}{z^2}=\frac{1}{z}-\frac{y}{z^2}z_y.
Esses quatro resultados são importantes e foram obtidos aplicando a regra do quociente; note que aparecem z_x e z_y porque z depende de x e y.

Passo 4

Agora diferencio a identidade f(u(x,y),v(x,y))=0 em relação a x, usando a regra da cadeia:
0=\frac{\partial}{\partial x}f(u,v)=f_u(u,v)\,u_x + f_v(u,v)\,v_x,
onde escrevo f_u e f_v para as parciais de f avaliadas em \big(u(x,y),v(x,y)\big). Substituo u_x e v_x que calculei no passo anterior:
0=f_u\!\left(\frac{1}{z}-\frac{x}{z^2}z_x\right) + f_v\!\left(-\frac{y}{z^2}z_x\right).
Coloco todos os termos sobre um denominador comum z^2 e agrupo os que têm z_x:
0=\frac{f_u z - z_x\,(x f_u + y f_v)}{z^2}.
Multiplicando por z^2 (assumindo z\neq 0) obtenho
0=f_u z - z_x\,(x f_u + y f_v).
Dessa equação isolamos z_x:
z_x=\frac{f_u\,z}{x f_u + y f_v}.

Passo 5

Agora faço a mesma coisa diferenciando em relação a y:
0=\frac{\partial}{\partial y}f(u,v)=f_u\,u_y + f_v\,v_y.
Substituo u_y e v_y:
0=f_u\!\left(-\frac{x}{z^2}z_y\right) + f_v\!\left(\frac{1}{z}-\frac{y}{z^2}z_y\right).
Agrupando e multiplicando por z^2
0=f_v z - z_y\,(x f_u + y f_v).
Isolando z_y resulta
z_y=\frac{f_v\,z}{x f_u + y f_v}.

Passo 6

Agora junte as expressões para z_x e z_y para computar a combinação pedida:
x z_x + y z_y = x\frac{f_u z}{x f_u + y f_v} + y\frac{f_v z}{x f_u + y f_v}.
Coloco o denominador comum x f_u + y f_v em evidência:
x z_x + y z_y = \frac{z\,(x f_u + y f_v)}{x f_u + y f_v}.
Cancelando o numerador com o denominador (desde que x f_u + y f_v\neq 0) obtemos
x z_x + y z_y = z.

Passo 7

Interpretação final do resultado (curtinha e direta): a conta dá que a combinação linear x\,\partial z/\partial x+y\,\partial z/\partial y vale exatamente z, isto é,
x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=z.

Resposta

x\,\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\,\dfrac{\partial z}{\partial y}=z

Exercícios relacionados