(2 pontos) Supondo que
é definida implicitamente por
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá que
é definida implicitamente pela equação
O que ele pede (ou que devemos verificar) é a igualdade
Informações relevantes que temos à disposição:
- A função
recebe dois argumentos (vou chamá‑los depois de e ). - As variáveis independentes são
e e depende implicitamente de e . - A relação entre
é dada por , para todas as posições onde .
Nada mais é usado agora — a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: faça uma mudança de notação para ficar mais claro. Defina
Assim a condição implícita fica simplesmente
onde
e
são funções de
e
pois dependem de
.
Agora preciso usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vou ensinar rápido a ideia: se
é uma função de duas variáveis e
, então a derivada total de
em relação a
é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, e
,
. O mesmo vale trocando
por
.
Vamos aplicar isso a
. Antes, precisamos calcular
. Para isso uso a regra do quociente (ou produto com
). Vou fazer passo a passo.
Passo 3
Calcule
. Usando a regra do quociente:
Calcule
. Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Analogamente para
:
Esses quatro resultados são importantes e foram obtidos aplicando a regra do quociente; note que aparecem
e
porque
depende de
e
.
Passo 4
Agora diferencio a identidade
em relação a
, usando a regra da cadeia:
onde escrevo
e
para as parciais de
avaliadas em
. Substituo
e
que calculei no passo anterior:
Coloco todos os termos sobre um denominador comum
e agrupo os que têm
:
Multiplicando por
(assumindo
) obtenho
Dessa equação isolamos
:
Passo 5
Agora faço a mesma coisa diferenciando em relação a
:
Substituo
e
:
Agrupando e multiplicando por
dá
Isolando
resulta
Passo 6
Agora junte as expressões para
e
para computar a combinação pedida:
Coloco o denominador comum
em evidência:
Cancelando o numerador com o denominador (desde que
) obtemos
Passo 7
Interpretação final do resultado (curtinha e direta): a conta dá que a combinação linear
vale exatamente
, isto é,