- PROBLEMA 1

(2 pontos) Calcule o valor da derivada direcional de f(x, y)= x^{2} y-x y^{3} na direção do vetor \vec{v}=\frac{3}{5} \vec{i}+\frac{4}{5} \vec{j} no ponto (2,-1).
(a) \frac{13}{5}
(b) \frac{-13}{5}
(c) \frac{17}{5}
(d) \frac{-17}{5}
(e) 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=x^{2}y - x y^{3} na direção do vetor \vec{v}=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j} no ponto (2,-1).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y - x y^{3}.
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é (2,-1).
  • O vetor direção é \vec{v}=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j}.
  • Há alternativas: (a) \frac{13}{5}, (b) \frac{-13}{5}, (c) \frac{17}{5}, (d) \frac{-17}{5}, (e) 1.

Passo 2

Definição e ideia prática (muito importante para a prova).
A derivada direcional de f no ponto (a,b) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(a,b) é o gradiente de f no ponto (a,b), um vetor formado pelas derivadas parciais \left(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\right).
  • \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) são as componentes do vetor direção; é obrigatório que \mathbf{u} seja unitário (módulo 1). Se o vetor dado não for unitário, devemos normalizá‑lo: \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
    Motivação rápida: se você seguir a direção \mathbf{u} com um parâmetro t, consideramos g(t)=f(a+u_{1}t,b+u_{2}t). Pela regra da cadeia,
g'(0)=f_x(a,b)u_{1}+f_y(a,b)u_{2}=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf{u},
que é exatamente a derivada direcional.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais simbólicas de f.
Temos f(x,y)=x^{2}y - x y^{3}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy - y^{3}.
Explicação: a derivada de x^{2}y em x é 2x\cdot y (porque y é constante), e a derivada de -x y^{3} em x é -1\cdot y^{3}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2} - 3x y^{2}.
Explicação: a derivada de x^{2}y em y é x^{2}, e a derivada de -x y^{3} em y é -x\cdot 3y^{2}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (2,-1).
Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(2,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=2\cdot 2\cdot(-1) - (-1)^{3}.
Passo a passo: 2\cdot2\cdot(-1) = -4. E (-1)^{3}=-1, então -(-1)=+1. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=-4+1=-3.
Agora \frac{\partial f}{\partial y}(2,-1):
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=2^{2} - 3\cdot 2\cdot(-1)^{2}.
Passo a passo: 2^{2}=4. (-1)^{2}=1, então 3\cdot2\cdot1=6. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=4-6=-2.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla f(2,-1)=(-3,\,-2).

Passo 5

Verificar a condição do vetor direção (unitariedade).
O vetor dado é \vec{v}=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j}, ou seja \vec{v}=(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}). Calcule o módulo:
\|\vec{v}\|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
Como \|\vec{v}\|=1, o vetor já é unitário e pode ser usado diretamente como \mathbf{u}.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar do gradiente com o vetor direção.
Usando \nabla f(2,-1)=(-3,-2) e \mathbf{u}=(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}):
D_{\mathbf{u}}f(2,-1)=\nabla f(2,-1)\cdot\mathbf{u}=(-3)\cdot\frac{3}{5}+(-2)\cdot\frac{4}{5}.
Faça as contas passo a passo: (-3)\cdot\frac{3}{5}=-\frac{9}{5}. (-2)\cdot\frac{4}{5}=-\frac{8}{5}. Somando:
-\frac{9}{5}-\frac{8}{5}=-\frac{17}{5}.

Passo 7

Interpretação final e correspondência com as alternativas.
O valor numérico da derivada direcional é -\tfrac{17}{5}. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \frac{-17}{5}

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