- PROBLEMA 1
(2 pontos) Calcule o valor da derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada direcional é
. - O vetor direção é
. - Há alternativas: (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) .
Passo 2
Definição e ideia prática (muito importante para a prova).
A derivada direcional de no ponto
na direção do vetor unitário
é
A derivada direcional de
Aqui:
-
é o gradiente de no ponto , um vetor formado pelas derivadas parciais . -
são as componentes do vetor direção; é obrigatório que seja unitário (módulo 1). Se o vetor dado não for unitário, devemos normalizá‑lo: .
Motivação rápida: se você seguir a direçãocom um parâmetro , consideramos . Pela regra da cadeia,
que é exatamente a derivada direcional.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais simbólicas de
.
Temos .
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Temos
Derivando em relação a
Explicação: a derivada de
em
é
(porque
é constante), e a derivada de
em
é
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Explicação: a derivada de
em
é
, e a derivada de
em
é
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Calcule :
Calcule
Passo a passo:
. E
, então
. Portanto
Agora
:
Passo a passo:
.
, então
. Portanto
Logo o gradiente no ponto é
Passo 5
Verificar a condição do vetor direção (unitariedade).
O vetor dado é , ou seja
. Calcule o módulo:
O vetor dado é
Como
, o vetor já é unitário e pode ser usado diretamente como
.
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar do gradiente com o vetor direção.
Usando e
:
Usando
Faça as contas passo a passo:
.
. Somando:
Passo 7
Interpretação final e correspondência com as alternativas.
O valor numérico da derivada direcional é . Isso corresponde à alternativa (d).
O valor numérico da derivada direcional é
Resposta
(d)