(2 pontos) Determine a equação da reta tangente à curva 2 x+ y^{5}=1 no ponto ( 0,1 ).
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à curva \,2x + y^{5} = 1\, no ponto \,(0,1).
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação da curva: } 2x + y^{5} = 1,\\\ &\text{Ponto onde queremos a tangente: } (0,1). \end{aligned}
Passo 2
O que precisamos encontrar para escrever a reta tangente? Precisamos de dois dados:
\text{(i) um ponto da reta, que já temos: } (0,1),
\text{(ii) a inclinação (coeficiente angular) } m \text{ da reta no ponto.}
A inclinação da reta tangente a uma curva num ponto é dada pela derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada nesse ponto. Portanto o próximo passo é calcular \dfrac{dy}{dx} da relação \,2x + y^{5} = 1\,.
Passo 3
Como a curva é dada por uma relação entre x e y (e não y isolado em função de x), vamos diferenciar a igualdade \,2x + y^{5} = 1\, em relação a x, tratando y como função de x (ou seja y = y(x)). Isso é chamado de diferenciação implícita: quando derivamos um termo que envolve y, usamos a regra da cadeia e multiplicamos por \dfrac{dy}{dx}.
Relembre a regra da potência: se u(x) é função, \dfrac{d}{dx}[u(x)^n] = n\;u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x). Aqui u(x)=y(x) e u'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Passo 4
Diferenciando ambos os lados de \,2x + y^{5} = 1\, em relação a x:
Derivada de \,2x\, em relação a x é \,2\,.
Derivada de \,y^{5} em relação a x usa a regra da potência + cadeia: \dfrac{d}{dx}[y^{5}] = 5y^{4}\cdot \dfrac{dy}{dx}.
Derivada de constante 1 é 0.
Portanto obtemos a equação:
2 + 5y^{4}\,\frac{dy}{dx} = 0.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} = -2,
\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{5y^{4}}.
Passo 5
A inclinação da reta tangente no ponto (0,1) é \dfrac{dy}{dx} avaliada em y=1. Substituímos y=1 na expressão encontrada: