(2 pontos) Determine a equação da reta tangente à curva 2 x+ y^{5}=1 no ponto ( 0,1 ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à curva \,2x + y^{5} = 1\, no ponto \,(0,1).
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação da curva: } 2x + y^{5} = 1,\\\ &\text{Ponto onde queremos a tangente: } (0,1). \end{aligned}çã

Passo 2

O que precisamos encontrar para escrever a reta tangente? Precisamos de dois dados:
\text{(i) um ponto da reta, que já temos: } (0,1),á
\text{(ii) a inclinação (coeficiente angular) } m \text{ da reta no ponto.}çã
A inclinação da reta tangente a uma curva num ponto é dada pela derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada nesse ponto. Portanto o próximo passo é calcular \dfrac{dy}{dx} da relação \,2x + y^{5} = 1\,.

Passo 3

Como a curva é dada por uma relação entre x e y (e não y isolado em função de x), vamos diferenciar a igualdade \,2x + y^{5} = 1\, em relação a x, tratando y como função de x (ou seja y = y(x)). Isso é chamado de diferenciação implícita: quando derivamos um termo que envolve y, usamos a regra da cadeia e multiplicamos por \dfrac{dy}{dx}.
Relembre a regra da potência: se u(x) é função, \dfrac{d}{dx}[u(x)^n] = n\;u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x). Aqui u(x)=y(x) e u'(x)=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados de \,2x + y^{5} = 1\, em relação a x:
  • Derivada de \,2x\, em relação a x é \,2\,.
  • Derivada de \,y^{5} em relação a x usa a regra da potência + cadeia: \dfrac{d}{dx}[y^{5}] = 5y^{4}\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada de constante 1 é 0.
Portanto obtemos a equação:
2 + 5y^{4}\,\frac{dy}{dx} = 0.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} = -2,
\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{5y^{4}}.

Passo 5

A inclinação da reta tangente no ponto (0,1) é \dfrac{dy}{dx} avaliada em y=1. Substituímos y=1 na expressão encontrada:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,1)} = \frac{-2}{5\cdot 1^{4}} = \frac{-2}{5}.
Ou seja, a inclinação da tangente é m = -\dfrac{2}{5}.

Passo 6

Para escrever a equação da reta com inclinação m que passa pelo ponto (x_{0},y_{0}) usamos a forma ponto-inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0}) = (0,1) e m = -\dfrac{2}{5}. Substituindo:
y - 1 = -\frac{2}{5}\,(x - 0).
Simplificando:
y - 1 = -\frac{2}{5}x,
y = 1 - \frac{2}{5}x.
Podemos também escrever em forma com coeficientes inteiros multiplicando por 5:
5y = 5 - 2x \quad\Rightarrow\quad 2x + 5y - 5 = 0.

Resposta

y = 1 - \dfrac{2}{5}x

Exercícios relacionados