Duas cargas puntiformes, Q e 2 Q, estão separadas por uma distância l. Uma terceira carga -q deve ser mantida ao longo da mesma linha de tal forma que a força resultante que atua em Q e 2 Q seja zero. Encontre a localização da terceira carga com relação à carga Q.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas cargas pontuais positivas, \,Q em x=0 e \,2Q em x=l, e queremos colocar uma carga negativa -q em x=x (na mesma reta) de modo que a força resultante em ambas as cargas Q e 2Q seja nula. O conteúdo envolve o uso da Lei de Coulomb e equilíbrio de forças elétricas.

Passo 2

Equilíbrio de forças em Q (em x=0):
  • A força de 2Q (em x=l) sobre Q é repulsiva e tem módulo
F_{2Q\to Q} = k\,\frac{Q\,(2Q)}{l^2}\,.
  • A força de -q (em x=x) sobre Q é de atração e tem módulo
F_{-q\to Q} = k\,\frac{Q\,q}{x^2}\,.
Para que se anulem, igualamos os módulos:
k\,\frac{2Q^2}{l^2} \;=\; k\,\frac{Q\,q}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2Q}{l^2} = \frac{q}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{q}{2Q}\,l^2 \quad\Longrightarrow\quad x = l\sqrt{\frac{q}{2Q}}.

Passo 3

Equilíbrio de forças em 2Q (em x=l):
  • A força de Q (em x=0) sobre 2Q é repulsiva, módulo
F_{Q\to2Q} = k\,\frac{Q\,(2Q)}{l^2}.
  • A força de -q (em x=x) sobre 2Q é de atração, módulo
F_{-q\to2Q} = k\,\frac{2Q\,q}{(l - x)^2}.
Para anularem-se (note que 0<x<l para as direções ficarem opostas), igualamos
k\,\frac{2Q^2}{l^2} = k\,\frac{2Q\,q}{(l-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q}{l^2} = \frac{q}{(l-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (l - x)^2 = \frac{q}{Q}\,l^2 \quad\Longrightarrow\quad l - x = l\sqrt{\frac{q}{Q}} \quad\Longrightarrow\quad x = l\Bigl(1 - \sqrt{\tfrac{q}{Q}}\Bigr).

Passo 4

Igualando as duas expressões para x obtidas nos equilíbrios,
l\sqrt{\tfrac{q}{2Q}} \;=\; l\Bigl(1 - \sqrt{\tfrac{q}{Q}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\tfrac{q}{2Q}} + \sqrt{\tfrac{q}{Q}} = 1.
Defina u = \sqrt{\tfrac{q}{Q}}. Então
\frac{u}{\sqrt2} + u = 1 \quad\Longrightarrow\quad u\Bigl(1 + \tfrac1{\sqrt2}\Bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{1 + 1/\sqrt2} = 2 - \sqrt2.
Logo
\sqrt{\tfrac{q}{Q}} = 2 - \sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad q = \bigl(2 - \sqrt2\bigr)^{2} Q = \bigl(6 - 4\sqrt2\bigr)\,Q.
Substituindo em x = l\sqrt{\tfrac{q}{2Q}}:
x = l\,\sqrt{\frac{6 - 4\sqrt2}{2}} = l\,\sqrt{3 - 2\sqrt2} = l\bigl(\sqrt2 - 1\bigr).

Resposta

A carga -q deve ficar entre Q e 2Q, a uma distância
x = l\bigl(\sqrt2 - 1\bigr)
a partir de Q.

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