(2 pontos) 3) Suponha que os resíduos \widehat{a}_{t} do modelo \Delta Z_{t}=\left(1-0,13 X-0,12 X^{2}\right) a_{t} ajustados a uma série temporal com N=224 observações, forneceu as seguintes autocorrelações residuais:
j \widehat{r}_{a}(j) j \widehat{r}_{a}(j)
1 0,020 8 -0,056
2 0,032 9 -0,130
3 -0,125 10 0,093
4 -0,078 11 -0,129
5 -0,011 12 0,063
6 -0,033 13 -0,084
7 -0,022 14 0,022
a) Qual modelo foi ajustado aos dados?
b) Verifique se o modelo é adequado utilizando o teste de Box-Pierce, aos níveis de 5 \% e 10 \%.
c) Há valores discrepantes? Quais? Justifique.
Obs.: Estatística de Box-Pierce:
Q=N(N+2) \sum_{j=1}^{K} \frac{\widehat{r}_{a}^{2}(j)}{(N-j)}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Resíduos \widehat{a}_{t} de um modelo ajustado à série com N=224 observações.
  • O modelo ajustado foi escrito como \Delta Z_{t}=\left(1-0,13 X-0,12 X^{2}\right)a_{t}.
  • As autocorrelações amostrais dos resíduos \widehat{r}_{a}(j) para j=1,\dots,14 estão na tabela:
    • j=1: \widehat{r}_{a}(1)=0,020
    • j=2: \widehat{r}_{a}(2)=0,032
    • j=3: \widehat{r}_{a}(3)=-0,125
    • j=4: \widehat{r}_{a}(4)=-0,078
    • j=5: \widehat{r}_{a}(5)=-0,011
    • j=6: \widehat{r}_{a}(6)=-0,033
    • j=7: \widehat{r}_{a}(7)=-0,022
    • j=8: \widehat{r}_{a}(8)=-0,056
    • j=9: \widehat{r}_{a}(9)=-0,130
    • j=10: \widehat{r}_{a}(10)=0,093
    • j=11: \widehat{r}_{a}(11)=-0,129
    • j=12: \widehat{r}_{a}(12)=0,063
    • j=13: \widehat{r}_{a}(13)=-0,084
    • j=14: \widehat{r}_{a}(14)=0,022
As perguntas pedem:
(a) identificar qual modelo foi ajustado;
(b) verificar a adequação do modelo usando o teste de Box–Pierce aos níveis de 5\% e 10\%;
(c) verificar se há valores discrepantes (e quais), justificando.

Passo 2

Interpretação do formato do modelo (resposta da parte (a)) e explicação didática rápida.
O enunciado escreve o modelo como
\Delta Z_{t}=\left(1-0,13 X-0,12 X^{2}\right)a_{t}.
Aqui X é o operador de defasagem (lag), também denotado por B ou L, e a expressão multiplica a_t. Em séries temporais há duas formas comuns de escrever modelos:
  • AR: \varphi(B)X_t=a_t (polinômio em B aplicado à série igual ao ruído).
  • MA: X_t=\theta(B)a_t (série como polinômio em B aplicado ao ruído).
No nosso caso a forma é da forma \Delta Z_t = \theta(B)\,a_t, ou seja, a diferença \Delta Z_t é escrita diretamente como um polinômio em defasagens aplicado a a_t. Isso caracteriza um modelo de média móvel de ordem 2 para a série diferenciada. Como foi usado \Delta Z_t (diferença), a família completa é ARIMA com diferença de ordem 1 e parte MA de ordem 2.
Portanto, escrevendo explicitamente os coeficientes, o modelo ajustado é
\Delta Z_{t}=a_{t}-0,13\,a_{t-1}-0,12\,a_{t-2},
ou seja, um MA(2) para a série diferenciada (equivalente a um \mathrm{ARIMA}(0,1,2)).

Passo 3

Explicação do teste de Box–Pierce e cálculo da estatística (parte (b)).
O teste de Box–Pierce verifica se as primeiras K autocorrelações dos resíduos são simultaneamente nulas. A estatística dada no enunciado é
Q=N(N+2)\sum_{j=1}^{K}\frac{\widehat{r}_{a}^{2}(j)}{N-j}.
Sob a hipótese nula (resíduos sem autocorrelação), Q tem assintoticamente distribuição qui‑quadrado com g graus de liberdade. Quando se estima um modelo, é comum usar g=K-m, onde m é o número de parâmetros do modelo (AR+MA) usados para ajustar a série — esse ajuste reduz os graus de liberdade disponíveis. No nosso ajuste \mathrm{MA}(2) na série diferenciada, foram estimados basicamente m=2 parâmetros MA (assumimos aqui que o intercepto/constante não altera a contagem relevante), então adotamos g=K-2.
Vamos calcular Q para K=14 (usando as 14 autocorrelações fornecidas). Primeiro calculamos a soma
S=\sum_{j=1}^{14}\frac{\widehat{r}_{a}^{2}(j)}{N-j}.
(Para ser didático, calcula-se cada termo \widehat{r}_{a}^{2}(j)/(N-j) e soma-se.)
Cálculos (valores arredondados para 4–6 casas significativas):
\begin{aligned} &\frac{0,020^{2}}{224-1}=\frac{0,000400}{223}\approx 1{,}793\times10^{-6},\\\ &\frac{0,032^{2}}{224-2}=\frac{0,001024}{222}\approx 4{,}614\times10^{-6},\\\ &\frac{(-0,125)^{2}}{224-3}=\frac{0,015625}{221}\approx 7{,}069\times10^{-5},\\\ &\frac{(-0,078)^{2}}{224-4}=\frac{0,006084}{220}\approx 2{,}766\times10^{-5},\\\ &\frac{(-0,011)^{2}}{224-5}=\frac{0,000121}{219}\approx 5{,}526\times10^{-7},\\\ &\frac{(-0,033)^{2}}{224-6}=\frac{0,001089}{218}\approx 4{,}995\times10^{-6},\\\ &\frac{(-0,022)^{2}}{224-7}=\frac{0,000484}{217}\approx 2{,}231\times10^{-6},\\\ &\frac{(-0,056)^{2}}{224-8}=\frac{0,003136}{216}\approx 1{,}452\times10^{-5},\\\ &\frac{(-0,130)^{2}}{224-9}=\frac{0,016900}{215}\approx 7{,}861\times10^{-5},\\\ &\frac{0,093^{2}}{224-10}=\frac{0,008649}{214}\approx 4{,}042\times10^{-5},\\\ &\frac{(-0,129)^{2}}{224-11}=\frac{0,016641}{213}\approx 7{,}815\times10^{-5},\\\ &\frac{0,063^{2}}{224-12}=\frac{0,003969}{212}\approx 1{,}872\times10^{-5},\\\ &\frac{(-0,084)^{2}}{224-13}=\frac{0,007056}{211}\approx 3{,}345\times10^{-5},\\\ &\frac{0,022^{2}}{224-14}=\frac{0,000484}{210}\approx 2{,}305\times10^{-6}.\\\ \end{aligned}
Somando todos esses termos obtemos
S\approx 0{,}000378713.
Agora multiplica-se por N(N+2). Com N=224:
N(N+2)=224\cdot226=50\,624.
Logo
Q=50\,624\times S\approx 50\,624\times 0{,}000378713\approx 19{,}17.
Escolhendo os graus de liberdade g=K-m=14-2=12, comparamos Q com os quantis da distribuição \chi^{2} com 12 graus de liberdade:
\chi^{2}_{0,95,12}\approx 21{,}026,\qquad \chi^{2}_{0,90,12}\approx 18{,}549.
  • Para o nível de significância 5\% usamos o quantil 0{,}95: como Q\approx 19{,}17<21{,}026, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5\%. Conclusão: não há evidência suficiente para dizer que há autocorrelação significativa nos resíduos ao nível 5\% (modelo aparente adequado a 5%).
  • Para o nível de significância 10\% usamos o quantil 0{,}90: como Q\approx 19{,}17>18{,}549, rejeitamos a hipótese nula ao nível de 10\%. Conclusão: aos 10\% há evidência de autocorrelação conjunta nas primeiras 14 autocorrelações (modelo pode não ser adequado a 10%).
Uma estimativa aproximada do p‑valor é p\approx 0{,}08 (entre 0{,}05 e 0{,}10), o que confirma que a decisão depende do nível escolhido.

Passo 4

Teste de significância individual das autocorrelações (parte (c)) — método e justificativa.
Para checar se autocorrelações individuais \widehat{r}_{a}(j) são discrepantes, usa‑se a aproximação assintótica
\operatorname{se}\big(\widehat{r}_{a}(j)\big)\approx\frac{1}{\sqrt{N}}.
Com N=224 isso dá
\operatorname{se}\big(\widehat{r}_{a}(j)\big)\approx\frac{1}{\sqrt{224}}\approx 0{,}0669.
Limites de significância aproximados:
  • Para nível 5\% bilateral: \pm 1{,}96\cdot\operatorname{se}\approx \pm 1{,}96\times0{,}0669\approx \pm 0{,}131.
  • Para nível 10\% bilateral: \pm 1{,}645\cdot\operatorname{se}\approx \pm 1{,}645\times0{,}0669\approx \pm 0{,}110.
Agora examine os \widehat{r}_{a}(j):
  • Valores com |\widehat{r}_{a}(j)|>0{,}131: nenhum. Assim, ao nível 5\% nenhuma autocorrelação individual é significativa — não há “valores discrepantes” tomados isoladamente.
  • Valores com |\widehat{r}_{a}(j)|>0{,}110: temos |\widehat{r}_{a}(3)|=0{,}125, |\widehat{r}_{a}(9)|=0{,}130, |\widehat{r}_{a}(11)|=0{,}129; esses três lags excedem o limite de 10\% e portanto são pontualmente significativos ao nível 10\%.
Interpretação prática: não há autocorrelações individualmente significativas ao nível 5\% (logo, nada claramente discrepante), mas três lags ( j=3,9,11 ) são borderline/significativos ao nível 10\%. Isso está coerente com o resultado do teste conjunto: o teste de Box–Pierce rejeita ao nível 10\% mas não ao nível 5\%.

Passo 5

Resumo interpretativo e orientação (conselho amigável de estudo).
  • O modelo ajustado é um \mathrm{MA}(2) sobre a série diferenciada, isto é \Delta Z_{t}=a_{t}-0,13\,a_{t-1}-0,12\,a_{t-2} (equivalente a \mathrm{ARIMA}(0,1,2)).
  • O teste de Box–Pierce com K=14 e ajustando m=2 parâmetros dá Q\approx 19{,}17 com g=12 graus de liberdade; comparando com \chi^{2}_{12}:
    • ao nível 5\%: não rejeita (modelo adequado a 5\%);
    • ao nível 10\%: rejeita (há indício de autocorrelação conjunta a 10\%).
  • Quanto a valores discrepantes (autocorrelações individuais): nenhum lag ultrapassa o limite de 5\% ( \approx\pm0{,}131), portanto nenhum é claramente discrepante a 5\%; entretanto os lags j=3,9,11 são excedentes ao limite de 10\% ( \approx\pm0{,}110) e podem ser apontados como pontos de atenção.
Força aí — se quiser eu monto o cálculo do Q em uma tabela detalhada, ou faço o mesmo teste usando outro K (por exemplo K=10), que às vezes muda a decisão; isso pode ajudar na prova. 😃

Resposta

(a) \Delta Z_{t}=a_{t}-0,13\,a_{t-1}-0,12\,a_{t-2} (ou seja, \mathrm{MA}(2) na série diferenciada → \mathrm{ARIMA}(0,1,2)).
(b) Estatística Q\approx 19{,}17 com g=12 graus de liberdade: não rejeita ao nível 5\% ( \chi^{2}_{0,95,12}\approx21{,}026), mas rejeita ao nível 10\% ( \chi^{2}_{0,90,12}\approx18{,}549).
(c) Ao nível 5\%: não há autocorrelações individualmente discrepantes. Ao nível 10\%: lags j=3, j=9 e j=11 são pontualmente significativos (discrepantes) porque |\widehat{r}_{a}(j)|>0{,}110.

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