(2 pontos) 3) Suponha que os resíduos
do modelo
ajustados a uma série temporal com
observações, forneceu as seguintes autocorrelações residuais:
1
0,020
8
2
0,032
9
3
10
0,093
4
11
5
12
0,063
6
13
7
14
0,022
a) Qual modelo foi ajustado aos dados?
b) Verifique se o modelo é adequado utilizando o teste de Box-Pierce, aos níveis de
e
.
c) Há valores discrepantes? Quais? Justifique.
Obs.: Estatística de Box-Pierce:
|
|
|
|
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| 1 | 0,020 | 8 |
|
| 2 | 0,032 | 9 |
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| 3 |
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10 | 0,093 |
| 4 |
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11 |
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| 5 |
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12 | 0,063 |
| 6 |
|
13 |
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| 7 |
|
14 | 0,022 |
b) Verifique se o modelo é adequado utilizando o teste de Box-Pierce, aos níveis de
c) Há valores discrepantes? Quais? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Resíduos
de um modelo ajustado à série com observações. - O modelo ajustado foi escrito como
. - As autocorrelações amostrais dos resíduos
para estão na tabela: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
As perguntas pedem:
(a) identificar qual modelo foi ajustado;
(b) verificar a adequação do modelo usando o teste de Box–Pierce aos níveis de e
;
(c) verificar se há valores discrepantes (e quais), justificando.
(a) identificar qual modelo foi ajustado;
(b) verificar a adequação do modelo usando o teste de Box–Pierce aos níveis de
(c) verificar se há valores discrepantes (e quais), justificando.
Passo 2
Interpretação do formato do modelo (resposta da parte (a)) e explicação didática rápida.
O enunciado escreve o modelo como
Aqui
é o operador de defasagem (lag), também denotado por
ou
, e a expressão multiplica
. Em séries temporais há duas formas comuns de escrever modelos:
- AR:
(polinômio em aplicado à série igual ao ruído). - MA:
(série como polinômio em aplicado ao ruído).
No nosso caso a forma é da forma
, ou seja, a diferença
é escrita diretamente como um polinômio em defasagens aplicado a
. Isso caracteriza um modelo de média móvel de ordem 2 para a série diferenciada. Como foi usado
(diferença), a família completa é ARIMA com diferença de ordem
e parte MA de ordem
.
Portanto, escrevendo explicitamente os coeficientes, o modelo ajustado é
ou seja, um MA(2) para a série diferenciada (equivalente a um
).
Passo 3
Explicação do teste de Box–Pierce e cálculo da estatística (parte (b)).
O teste de Box–Pierce verifica se as primeiras
autocorrelações dos resíduos são simultaneamente nulas. A estatística dada no enunciado é
Sob a hipótese nula (resíduos sem autocorrelação),
tem assintoticamente distribuição qui‑quadrado com
graus de liberdade. Quando se estima um modelo, é comum usar
, onde
é o número de parâmetros do modelo (AR+MA) usados para ajustar a série — esse ajuste reduz os graus de liberdade disponíveis. No nosso ajuste
na série diferenciada, foram estimados basicamente
parâmetros MA (assumimos aqui que o intercepto/constante não altera a contagem relevante), então adotamos
.
Vamos calcular
para
(usando as 14 autocorrelações fornecidas). Primeiro calculamos a soma
(Para ser didático, calcula-se cada termo
e soma-se.)
Cálculos (valores arredondados para 4–6 casas significativas):
Somando todos esses termos obtemos
Agora multiplica-se por
. Com
:
Logo
Escolhendo os graus de liberdade
, comparamos
com os quantis da distribuição
com
graus de liberdade:
- Para o nível de significância
usamos o quantil : como , não rejeitamos a hipótese nula ao nível de . Conclusão: não há evidência suficiente para dizer que há autocorrelação significativa nos resíduos ao nível (modelo aparente adequado a 5%). - Para o nível de significância
usamos o quantil : como , rejeitamos a hipótese nula ao nível de . Conclusão: aos há evidência de autocorrelação conjunta nas primeiras autocorrelações (modelo pode não ser adequado a 10%).
Uma estimativa aproximada do p‑valor é
(entre
e
), o que confirma que a decisão depende do nível escolhido.
Passo 4
Teste de significância individual das autocorrelações (parte (c)) — método e justificativa.
Para checar se autocorrelações individuais
são discrepantes, usa‑se a aproximação assintótica
Com
isso dá
Limites de significância aproximados:
- Para nível
bilateral: . - Para nível
bilateral: .
Agora examine os
:
- Valores com
: nenhum. Assim, ao nível nenhuma autocorrelação individual é significativa — não há “valores discrepantes” tomados isoladamente. - Valores com
: temos , , ; esses três lags excedem o limite de e portanto são pontualmente significativos ao nível .
Interpretação prática: não há autocorrelações individualmente significativas ao nível
(logo, nada claramente discrepante), mas três lags (
) são borderline/significativos ao nível
. Isso está coerente com o resultado do teste conjunto: o teste de Box–Pierce rejeita ao nível
mas não ao nível
.
Passo 5
Resumo interpretativo e orientação (conselho amigável de estudo).
- O modelo ajustado é um
sobre a série diferenciada, isto é (equivalente a ). - O teste de Box–Pierce com
e ajustando parâmetros dá com graus de liberdade; comparando com : - ao nível
: não rejeita (modelo adequado a ); - ao nível
: rejeita (há indício de autocorrelação conjunta a ).
- ao nível
- Quanto a valores discrepantes (autocorrelações individuais): nenhum lag ultrapassa o limite de
( ), portanto nenhum é claramente discrepante a ; entretanto os lags são excedentes ao limite de ( ) e podem ser apontados como pontos de atenção.
Força aí — se quiser eu monto o cálculo do
em uma tabela detalhada, ou faço o mesmo teste usando outro
(por exemplo
), que às vezes muda a decisão; isso pode ajudar na prova. 😃
Resposta
(a)
(ou seja,
na série diferenciada →
).
(b) Estatística com
graus de liberdade: não rejeita ao nível
(
), mas rejeita ao nível
(
).
(c) Ao nível : não há autocorrelações individualmente discrepantes. Ao nível
: lags
,
e
são pontualmente significativos (discrepantes) porque
.
(b) Estatística
(c) Ao nível