( \mathbf{2} pontos) a) Considere os seguintes modelo sazonal:
i) \operatorname{SARIMA}(1,1,0) \times(0,0,1)_{6}
Escreva explicitamente e obtenha a função de previsão para \forall h.
Passo 1
O enunciado pede: para o modelo sazonal dado
\text{SARIMA}(1,1,0)\times(0,0,1)_6,
escrever explicitamente o modelo e obter a função de previsão para todo h (ou seja, \hat X_{t+h|t} para h\ge1). Informações relevantes que o enunciado dá:
Parâmetros não nominais: p=1,\\ d=1,\\ q=0,\\ P=0,\\ D=0,\\ Q=1,\\ s=6.
Existem um parâmetro não-sazonal de AR, que vou chamar de \phi_1, e um parâmetro de MA sazonal de ordem 1 (lag sazonal 6), que vou chamar de \Theta_1.
A série observada é X_t. As inovações (ruído branco) são \varepsilon_t com \mathbb{E}[\varepsilon_t]=0 e \mathbb{E}[\varepsilon_t\varepsilon_{u}]=0 para t\neq u.
O objetivo final: escrever a expressão fechada de \hat X_{t+h|t} para todo h, explicando o passo a passo.
Passo 2
Escrever o modelo em forma de operadores com o operador de defasagem B (onde B X_t = X_{t-1}).
O fator AR não-sazonal de ordem 1 é \varphi(B)=1-\phi_1 B.
A diferenciação não-sazonal de ordem d=1 é (1-B).
A parte MA sazonal de ordem Q=1 e período s=6 é \Theta(B)=1+\Theta_1 B^{6}.
Não há MA não-sazonal (q=0), nem AR sazonal (P=0), nem diferenciação sazonal (D=0).
Portanto o modelo pode ser escrito explicitamente como
Ou seja, Y_t satisfaz um AR(1) cuja “inovação” v_t é uma combinação de \varepsilon_t e de \varepsilon_{t-6} (essa segunda parte é conhecida no tempo t sempre que \varepsilon_{t-6} já tenha sido observada).
Passo 4
Princípio de previsão multi-passo para um AR(1). Para um processo
Y_t=\phi_1 Y_{t-1}+v_t,
a previsão condicional de Y_{t+h} dado informação até tempo t tem a forma
Para qualquer j, \mathbb{E}[\varepsilon_{t+j}\mid\mathcal{F}_t]=0 porque \varepsilon_{t+j} é futuro e tem média zero.
O termo \varepsilon_{t+j-6} é conhecido (não-estocástico condicionado a \mathcal{F}_t) exatamente quando t+j-6\le t, isto é, quando j\le 6. Se j\le6 então \varepsilon_{t+j-6} é um ruído passado conhecido e aparece no valor esperado; se j\ge7 então t+j-6>t e \varepsilon_{t+j-6} também é futuro e tem esperança zero.
Substituir \hat v_{t+j|t} na fórmula de \hat Y_{t+h|t}. Como \hat v_{t+j|t} é não nulo apenas para j=1,2,\dots,\min(h,6), a soma reduz-se a essas ordens. Assim
Esse é o resultado para a previsão da série diferenciada Y. Interprete: a primeiro termo é a contribuição da dinâmica AR(1) aplicada h vezes; o segundo termo incorpora efeitos provenientes das inovações sazonais que já são conhecidas no tempo t (os \varepsilon_{t-5},\dots,\varepsilon_{t}).
Passo 6
Passar de \hat Y_{t+h|t} para \hat X_{t+h|t}. Como Y_k=X_k-X_{k-1}, há a identidade telescópica
X_{t+h} \;=\; X_t + \sum_{k=1}^{h} Y_{t+k}.
Tomando expectativas condicionais e usando linearidade,
Para a segunda soma dupla trocamos a ordem de somação. Note que \sum_{k=1}^{h}\sum_{j=1}^{\min(k,6)} (\cdots) é equivalente a \sum_{j=1}^{\min(h,6)} \sum_{k=j}^{h} (\cdots). Portanto
Y_t = X_t-X_{t-1} (diferença observada no tempo t).
Os \varepsilon_{t+j-6} para j=1,\dots,\min(h,6) são inovações passadas conhecidas no tempo t (por exemplo, para j=6 o índice é \varepsilon_t; para j=1 o índice é \varepsilon_{t-5}).
Se h\ge6 a soma sobre j vai até 6; se h<6 ela vai até h.
Passo 8
Caso especial \phi_1=1. Se \phi_1=1 a equação para Y_t é
Y_t = Y_{t-1} + v_t,
portanto \hat Y_{t+h|t} = Y_t + \sum_{j=1}^{\min(h,6)} \Theta_1 \varepsilon_{t+j-6} (porque só os termos com \varepsilon_{t+j-6} conhecidos entram na esperança). Integrando para X,
A soma dupla pode ser simplificada em termos de somas acumuladas dos \varepsilon conhecidos, mas a forma acima já é explícita; uma forma alternativa é trocar soma da mesma maneira feita antes e usar \sum_{k=j}^{h}1 = h-j+1, resultando em
Primeiro reescreva o modelo com o operador B e identifique Y_t=(1-B)X_t.
Resolva a AR(1) para Y_t e monte a previsão multi-passo usando a fórmula padrão com potências de \phi_1.
Lembre-se que inovações futuras têm média zero; só aparecem expectativas não nulas quando a combinação inclui inovações passadas (aqui, devido ao termo sazonal B^6, aparecem \varepsilon_{t-5},\dots,\varepsilon_t nas previsões até h=6).
Por fim integre (some) as previsões de Y para obter \hat X_{t+h|t}.