( \mathbf{2} pontos) a) Considere os seguintes modelo sazonal:
i) \operatorname{SARIMA}(1,1,0) \times(0,0,1)_{6}
Escreva explicitamente e obtenha a função de previsão para \forall h.

Passo 1

O enunciado pede: para o modelo sazonal dado
\text{SARIMA}(1,1,0)\times(0,0,1)_6,
escrever explicitamente o modelo e obter a função de previsão para todo h (ou seja, \hat X_{t+h|t} para h\ge1). Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Parâmetros não nominais: p=1,\\ d=1,\\ q=0,\\ P=0,\\ D=0,\\ Q=1,\\ s=6.
  • Existem um parâmetro não-sazonal de AR, que vou chamar de \phi_1, e um parâmetro de MA sazonal de ordem 1 (lag sazonal 6), que vou chamar de \Theta_1.
  • A série observada é X_t. As inovações (ruído branco) são \varepsilon_t com \mathbb{E}[\varepsilon_t]=0 e \mathbb{E}[\varepsilon_t\varepsilon_{u}]=0 para t\neq u.
  • O objetivo final: escrever a expressão fechada de \hat X_{t+h|t} para todo h, explicando o passo a passo.

Passo 2

Escrever o modelo em forma de operadores com o operador de defasagem B (onde B X_t = X_{t-1}).
  • O fator AR não-sazonal de ordem 1 é \varphi(B)=1-\phi_1 B.
  • A diferenciação não-sazonal de ordem d=1 é (1-B).
  • A parte MA sazonal de ordem Q=1 e período s=6 é \Theta(B)=1+\Theta_1 B^{6}.
  • Não há MA não-sazonal (q=0), nem AR sazonal (P=0), nem diferenciação sazonal (D=0).
Portanto o modelo pode ser escrito explicitamente como
(1-\phi_1 B)\,(1-B)\,X_t \;=\; (1+\Theta_1 B^{6})\,\varepsilon_t.
Aqui cada termo significa:
  • (1-B)X_t = X_t - X_{t-1} é a diferença simples (leva a série a estacionar em nível, se possível).
  • (1-\phi_1 B) introduz dependência autoregressiva de ordem 1 sobre a série diferenciada.
  • (1+\Theta_1 B^{6})\varepsilon_t = \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-6} é a inovação corrigida por um termo sazonal de ordem 6.

Passo 3

Simplificar com uma variável intermediária. Defina a diferença
Y_t := (1-B)X_t = X_t - X_{t-1}.
Substituindo no modelo obtemos uma equação para Y_t:
(1-\phi_1 B)Y_t \;=\; (1+\Theta_1 B^{6})\varepsilon_t.
Expandindo o operador do lado direito em termos temporais,
Y_t - \phi_1 Y_{t-1} \;=\; \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-6}.
Rearranjando,
Y_t \;=\; \phi_1 Y_{t-1} + v_t, \qquad\text{onde}\qquad v_t := \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-6}.
Ou seja, Y_t satisfaz um AR(1) cuja “inovação” v_t é uma combinação de \varepsilon_t e de \varepsilon_{t-6} (essa segunda parte é conhecida no tempo t sempre que \varepsilon_{t-6} já tenha sido observada).

Passo 4

Princípio de previsão multi-passo para um AR(1). Para um processo
Y_t=\phi_1 Y_{t-1}+v_t,
a previsão condicional de Y_{t+h} dado informação até tempo t tem a forma
\hat Y_{t+h|t} \;=\; \phi_1^{h} Y_t \;+\; \sum_{j=1}^{h} \phi_1^{\,h-j}\, \hat v_{t+j|t},
onde \hat v_{t+j|t}=\mathbb{E}[v_{t+j}\mid\mathcal{F}_t] é a previsão condicional da inovação do passo t+j.
Agora avaliaremos \hat v_{t+j|t}. Lembrando que
v_{t+j}=\varepsilon_{t+j}+\Theta_1\varepsilon_{t+j-6}.
  • Para qualquer j, \mathbb{E}[\varepsilon_{t+j}\mid\mathcal{F}_t]=0 porque \varepsilon_{t+j} é futuro e tem média zero.
  • O termo \varepsilon_{t+j-6} é conhecido (não-estocástico condicionado a \mathcal{F}_t) exatamente quando t+j-6\le t, isto é, quando j\le 6. Se j\le6 então \varepsilon_{t+j-6} é um ruído passado conhecido e aparece no valor esperado; se j\ge7 então t+j-6>t e \varepsilon_{t+j-6} também é futuro e tem esperança zero.
Logo
\hat v_{t+j|t} = \begin{cases} \Theta_1\,\varepsilon_{t+j-6}, & \text{se } j\le 6,\\[4pt] 0, & \text{se } j\ge 7. \end{cases}]

Passo 5

Substituir \hat v_{t+j|t} na fórmula de \hat Y_{t+h|t}. Como \hat v_{t+j|t} é não nulo apenas para j=1,2,\dots,\min(h,6), a soma reduz-se a essas ordens. Assim
\hat Y_{t+h|t} \;=\; \phi_1^{h} Y_t \;+\; \sum_{j=1}^{\min(h,6)} \phi_1^{\,h-j}\,\Theta_1\,\varepsilon_{t+j-6}.
Esse é o resultado para a previsão da série diferenciada Y. Interprete: a primeiro termo é a contribuição da dinâmica AR(1) aplicada h vezes; o segundo termo incorpora efeitos provenientes das inovações sazonais que já são conhecidas no tempo t (os \varepsilon_{t-5},\dots,\varepsilon_{t}).

Passo 6

Passar de \hat Y_{t+h|t} para \hat X_{t+h|t}. Como Y_k=X_k-X_{k-1}, há a identidade telescópica
X_{t+h} \;=\; X_t + \sum_{k=1}^{h} Y_{t+k}.
Tomando expectativas condicionais e usando linearidade,
\hat X_{t+h|t} \;=\; X_t + \sum_{k=1}^{h} \hat Y_{t+k|t}.
Substituir a expressão de \hat Y_{t+k|t}:
\hat X_{t+h|t} \;=\; X_t + \sum_{k=1}^{h} \Bigg[ \phi_1^{k} Y_t + \sum_{j=1}^{\min(k,6)} \phi_1^{\,k-j}\,\Theta_1\,\varepsilon_{t+j-6} \Bigg].
Separar somas e simplificar. Primeiro soma envolvendo Y_t:
\sum_{k=1}^{h} \phi_1^{k} Y_t \;=\; Y_t\sum_{k=1}^{h}\phi_1^{k} .
Se \phi_1\neq 1 essa soma geométrica é
\sum_{k=1}^{h}\phi_1^{k} \;=\; \frac{\phi_1(1-\phi_1^{h})}{1-\phi_1}.
Para a segunda soma dupla trocamos a ordem de somação. Note que \sum_{k=1}^{h}\sum_{j=1}^{\min(k,6)} (\cdots) é equivalente a \sum_{j=1}^{\min(h,6)} \sum_{k=j}^{h} (\cdots). Portanto
\sum_{k=1}^{h} \sum_{j=1}^{\min(k,6)} \phi_1^{\,k-j}\,\Theta_1\,\varepsilon_{t+j-6} \;=\; \Theta_1 \sum_{j=1}^{\min(h,6)} \varepsilon_{t+j-6}\;\sum_{k=j}^{h} \phi_1^{\,k-j}.
A soma interna é outra soma geométrica (com m=k-j):
\sum_{k=j}^{h} \phi_1^{\,k-j} \;=\; \sum_{m=0}^{h-j} \phi_1^{m} \;=\; \begin{cases} \dfrac{1-\phi_1^{\,h-j+1}}{1-\phi_1}, & \text{se }\phi_1\neq 1,\\[6pt] h-j+1, & \text{se }\phi_1=1. \end{cases}]

Passo 7

Juntando tudo (caso \phi_1\neq 1). Substituindo as somas obtidas no Passo 6, para \phi_1\neq 1 temos
\hat X_{t+h|t} = X_t \;+\; Y_t\cdot\frac{\phi_1(1-\phi_1^{h})}{1-\phi_1} \;+\; \Theta_1\sum_{j=1}^{\min(h,6)} \varepsilon_{t+j-6}\cdot\frac{1-\phi_1^{\,h-j+1}}{1-\phi_1}.
Lembretes sobre os termos:
  • Y_t = X_t-X_{t-1} (diferença observada no tempo t).
  • Os \varepsilon_{t+j-6} para j=1,\dots,\min(h,6) são inovações passadas conhecidas no tempo t (por exemplo, para j=6 o índice é \varepsilon_t; para j=1 o índice é \varepsilon_{t-5}).
  • Se h\ge6 a soma sobre j vai até 6; se h<6 ela vai até h.

Passo 8

Caso especial \phi_1=1. Se \phi_1=1 a equação para Y_t é
Y_t = Y_{t-1} + v_t,
portanto \hat Y_{t+h|t} = Y_t + \sum_{j=1}^{\min(h,6)} \Theta_1 \varepsilon_{t+j-6} (porque só os termos com \varepsilon_{t+j-6} conhecidos entram na esperança). Integrando para X,
\hat X_{t+h|t} = X_t + \sum_{k=1}^{h}\hat Y_{t+k|t} = X_t + h\,Y_t + \Theta_1 \sum_{k=1}^{h}\sum_{j=1}^{\min(k,6)} \varepsilon_{t+j-6}.
A soma dupla pode ser simplificada em termos de somas acumuladas dos \varepsilon conhecidos, mas a forma acima já é explícita; uma forma alternativa é trocar soma da mesma maneira feita antes e usar \sum_{k=j}^{h}1 = h-j+1, resultando em
\hat X_{t+h|t} = X_t + h\,Y_t + \Theta_1 \sum_{j=1}^{\min(h,6)} (h-j+1)\,\varepsilon_{t+j-6}.

Passo 9

Resumo interpretativo e como aplicar na prova:
  • Primeiro reescreva o modelo com o operador B e identifique Y_t=(1-B)X_t.
  • Resolva a AR(1) para Y_t e monte a previsão multi-passo usando a fórmula padrão com potências de \phi_1.
  • Lembre-se que inovações futuras têm média zero; só aparecem expectativas não nulas quando a combinação inclui inovações passadas (aqui, devido ao termo sazonal B^6, aparecem \varepsilon_{t-5},\dots,\varepsilon_t nas previsões até h=6).
  • Por fim integre (some) as previsões de Y para obter \hat X_{t+h|t}.

Resposta

Para \phi_1\neq 1:
\hat X_{t+h|t} = X_t \;+\; (X_t-X_{t-1})\cdot\frac{\phi_1(1-\phi_1^{h})}{1-\phi_1} \;+\; \Theta_1\sum_{j=1}^{\min(h,6)} \varepsilon_{t+j-6}\cdot\frac{1-\phi_1^{\,h-j+1}}{1-\phi_1}.
Para o caso especial \phi_1=1:
\hat X_{t+h|t} = X_t + h\,(X_t-X_{t-1}) + \Theta_1 \sum_{j=1}^{\min(h,6)} (h-j+1)\,\varepsilon_{t+j-6}.

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