(1 ponto) Mostre que a função de previsão para o modelo ARMA( 1,1 ), \operatorname{com} \mu=0 é definida por:
\widehat{Z}_{t}(h)=\varphi^{h} Z_{t}-\varphi^{h-1} \theta a_{t}, \text { para } h \geqq 1 .

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a previsão h-passos à frente para o modelo ARMA(1,1) com média nula é
\widehat{Z}_{t}(h)=\varphi^{h} Z_{t}-\varphi^{h-1}\theta a_{t},\qquad h\geqq 1.
Informações/hipóteses dadas (ou necessárias):
  • O processo satisfaz a equação ARMA(1,1) com \mu=0. Usarei a convenção de sinais
Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+a_{t}-\theta a_{t-1},
onde \varphi e \theta são parâmetros. (Se a sua convenção tiver sinal oposto no termo MA, o sinal do termo com \theta muda; aqui adotamos o sinal negativo antes de \theta.)
  • \{a_t\} é ruído branco de média zero: E(a_t)=0 para todo t, e a_{s} é não correlacionado com dados passados quando s>t. Em particular, para s\ge t+1 vale E(a_s\mid\mathcal{F}_t)=0.
  • A previsão condicional será definida por
\widehat{Z}_t(h)=E\bigl(Z_{t+h}\mid\mathcal{F}_t\bigr),
onde \mathcal{F}_t é a informação até o tempo t (equivalente a conhecer Z_s e os inovações a_s para s\le t).

Passo 2

Escreve-se a equação do modelo para o tempo t+h (válida para todo h\ge 1):
Z_{t+h}=\varphi Z_{t+h-1}+a_{t+h}-\theta a_{t+h-1}.
Isto é apenas a mesma relação do modelo deslocada no tempo. A ideia é tomar esperança condicional dessa igualdade dado \mathcal{F}_t.

Passo 3

Cálculo da previsão de um passo ( h=1). Para h=1 a equação é
Z_{t+1}=\varphi Z_{t}+a_{t+1}-\theta a_{t}.
Tomando esperança condicional em relação a \mathcal{F}_t e usando linearidade da esperança e que Z_t e a_t são mensuráveis em \mathcal{F}_t, enquanto E(a_{t+1}\mid\mathcal{F}_t)=0, obtemos
\widehat{Z}_t(1)=E(Z_{t+1}\mid\mathcal{F}_t)=\varphi Z_{t}-\theta a_{t}.
Comentário didático: aqui usamos só duas coisas simples — (i) variável conhecida pode sair da esperança condicional e (ii) inovação futura tem esperança condicional nula.

Passo 4

Cálculo da previsão de dois passos ( h=2) como exemplo para ver o padrão. Para h=2 temos
Z_{t+2}=\varphi Z_{t+1}+a_{t+2}-\theta a_{t+1}.
Tomando esperança condicional dado \mathcal{F}_t:
\widehat{Z}_t(2)=E(Z_{t+2}\mid\mathcal{F}_t)=\varphi E(Z_{t+1}\mid\mathcal{F}_t)+E(a_{t+2}\mid\mathcal{F}_t)-\theta E(a_{t+1}\mid\mathcal{F}_t).
Como E(a_{t+2}\mid\mathcal{F}_t)=0 e E(a_{t+1}\mid\mathcal{F}_t)=0, isto reduz-se a
\widehat{Z}_t(2)=\varphi \widehat{Z}_t(1)=\varphi\bigl(\varphi Z_t-\theta a_t\bigr)=\varphi^{2}Z_t-\varphi\theta a_t.

Passo 5

Observação geral (indução): para h\ge 2 a equação
Z_{t+h}=\varphi Z_{t+h-1}+a_{t+h}-\theta a_{t+h-1}
ao tomar esperança condicional dado \mathcal{F}_t
\widehat{Z}_t(h)=\varphi\,\widehat{Z}_t(h-1)+E(a_{t+h}\mid\mathcal{F}_t)-\theta E(a_{t+h-1}\mid\mathcal{F}_t).
Mas para h\ge 2 temos t+h-1\ge t+1, logo E(a_{t+h}\mid\mathcal{F}_t)=0 e E(a_{t+h-1}\mid\mathcal{F}_t)=0. Portanto, para todo h\ge 2,
\widehat{Z}_t(h)=\varphi\,\widehat{Z}_t(h-1).
Isto estabelece a recorrência de previsão para passos maiores que 1.

Passo 6

Resolvendo a recorrência. Sabendo que \widehat{Z}_t(1)=\varphi Z_t-\theta a_t e que para h\ge 2 vale \widehat{Z}_t(h)=\varphi\,\widehat{Z}_t(h-1), iterando obtemos
\widehat{Z}_t(h)=\varphi^{\,h-1}\widehat{Z}_t(1)=\varphi^{\,h-1}\bigl(\varphi Z_t-\theta a_t\bigr).
Multiplicando:
\widehat{Z}_t(h)=\varphi^{h}Z_t-\varphi^{h-1}\theta a_t,\qquad h\geqq 1.
Este é exatamente o resultado pedido.

Resposta

\widehat{Z}_{t}(h)=\varphi^{h} Z_{t}-\varphi^{h-1}\theta a_{t},\qquad h\geqq 1.

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