(1 ponto) Mostre que a função de previsão para o modelo ARMA( 1,1 ),
é definida por:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a previsão h-passos à frente para o modelo ARMA(1,1) com média nula é
Informações/hipóteses dadas (ou necessárias):
- O processo satisfaz a equação ARMA(1,1) com
. Usarei a convenção de sinais
onde
e
são parâmetros. (Se a sua convenção tiver sinal oposto no termo MA, o sinal do termo com
muda; aqui adotamos o sinal negativo antes de
.)
-
é ruído branco de média zero: para todo , e é não correlacionado com dados passados quando . Em particular, para vale . - A previsão condicional será definida por
onde
é a informação até o tempo
(equivalente a conhecer
e os inovações
para
).
Passo 2
Escreve-se a equação do modelo para o tempo
(válida para todo
):
Isto é apenas a mesma relação do modelo deslocada no tempo. A ideia é tomar esperança condicional dessa igualdade dado
.
Passo 3
Cálculo da previsão de um passo (
). Para
a equação é
Tomando esperança condicional em relação a
e usando linearidade da esperança e que
e
são mensuráveis em
, enquanto
, obtemos
Comentário didático: aqui usamos só duas coisas simples — (i) variável conhecida pode sair da esperança condicional e (ii) inovação futura tem esperança condicional nula.
Passo 4
Cálculo da previsão de dois passos (
) como exemplo para ver o padrão. Para
temos
Tomando esperança condicional dado
:
Como
e
, isto reduz-se a
Passo 5
Observação geral (indução): para
a equação
ao tomar esperança condicional dado
dá
Mas para
temos
, logo
e
. Portanto, para todo
,
Isto estabelece a recorrência de previsão para passos maiores que 1.
Passo 6
Resolvendo a recorrência. Sabendo que
e que para
vale
, iterando obtemos
Multiplicando:
Este é exatamente o resultado pedido.