( \mathbf{2} pontos) Suponha o modelo \operatorname{AR}(1)
Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_{t}
onde \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
a) Estimar \varphi e \theta_{0} e \mu utilizando o método de mínimos quadrados condicional a Z_{1}.
b) Suponha a série temporal:
t
1
2
3
4
5
6
Z_{t}
-1,23
1,31
0,91
-0,15
-0,27
0,78
Encontre as estimativas de \widehat{\mu}, \widehat{\varphi}, \widehat{\sigma}_{a}^{2} e \widehat{\theta}_{0}.
Sugestão: Encontre a estimativa de \sigma_{a}^{2} utilizando a S Q\left(\widehat{\varphi}, \widehat{\theta}_{0}\right) /(n-2).
Passo 1
O enunciado dá um modelo autoregressivo de primeira ordem com intercepto:
Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_{t},
onde está relacionada a média \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
As tarefas pedidas são:
(a) Estimar \varphi, \theta_{0} e \mu usando mínimos quadrados condicionais a Z_{1}.
calcular \widehat{\mu}, \widehat{\varphi}, \widehat{\sigma}_{a}^{2} e \widehat{\theta}_{0}.
Informação importante usada: o ajuste condicional a Z_1 usa os pares (Z_{t-1},Z_t) para t=2,\dots,n. Assim, a estimação é equivalente a uma regressão linear de Z_t em função de Z_{t-1} com intercepto, usando os n-1 pares observados.
Passo 2
Derivação do estimador por mínimos quadrados condicionais (método que o enunciado pede).
Para t=2,\dots,n escrevemos
Z_t=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_t,
que é uma regressão linear com regressores constante (intercepto \theta_{0}) e Z_{t-1}. Denotando y_t=Z_t e x_t=Z_{t-1} para t=2,\dots,n e m=n-1, os estimadores de mínimos quadrados são os mesmos da regressão com intercepto:
Explicação curta: essas fórmulas vêm das equações normais da regressão linear com intercepto; \widehat{\varphi} minimiza a soma de quadrados dos resíduos condicionada a Z_1.
Depois de obter \widehat{\theta}_{0} e \widehat{\varphi}, obtemos
onde S_Q(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_{0})=\sum_{t=2}^{n}\bigl(y_t-\widehat{\varphi}x_t-\widehat{\theta}_{0}\bigr)^{2} é a soma dos quadrados dos resíduos e n é o número total de observações (a divisão por n-2 ajusta o grau de liberdade na estimação de dois parâmetros \varphi e \theta_{0}).
Passo 3
Organizar os dados (usando os pares (x_t,y_t)=(Z_{t-1},Z_t) para t=2,\dots,6, aqui n=6 e m=n-1=5):
Breve interpretação: \widehat{\varphi} é a inclinação da regressão de Z_t sobre Z_{t-1} (condicional a Z_1) e \widehat{\theta}_{0} é o intercepto estimado.
Passo 6
Calcular \widehat{\mu} a partir da relação \theta_{0}=\mu(1-\varphi):
Comentário encorajador: estamos perto de terminar — falta só a variância residual.
Passo 7
Calcular a soma de quadrados dos resíduos S_Q(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_{0})=\sum_{t=2}^{6}(y_t-\widehat{\varphi}x_t-\widehat{\theta}_{0})^{2}.
É prático usar a identidade da regressão:
(ou calculando resíduos elemento a elemento obtemos soma de quadrados aproximadamente 1,66160 — diferença pequena por arredondamento; usamos 1,6617 como valor apropriado).