( \mathbf{2} pontos) Suponha o modelo \operatorname{AR}(1)
Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_{t}
onde \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
a) Estimar \varphi e \theta_{0} e \mu utilizando o método de mínimos quadrados condicional a Z_{1}.
b) Suponha a série temporal:
t 1 2 3 4 5 6
Z_{t} -1,23 1,31 0,91 -0,15 -0,27 0,78
Encontre as estimativas de \widehat{\mu}, \widehat{\varphi}, \widehat{\sigma}_{a}^{2} e \widehat{\theta}_{0}.
Sugestão: Encontre a estimativa de \sigma_{a}^{2} utilizando a S Q\left(\widehat{\varphi}, \widehat{\theta}_{0}\right) /(n-2).

Passo 1

O enunciado dá um modelo autoregressivo de primeira ordem com intercepto:
Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_{t},
onde está relacionada a média \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
As tarefas pedidas são:
  • (a) Estimar \varphi, \theta_{0} e \mu usando mínimos quadrados condicionais a Z_{1}.
  • (b) Com os dados fornecidos para t=1,\dots,6,
\begin{array}{c|cccccc} t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline Z_t & -1,23 & 1,31 & 0,91 & -0,15 & -0,27 & 0,78 \end{array}
calcular \widehat{\mu}, \widehat{\varphi}, \widehat{\sigma}_{a}^{2} e \widehat{\theta}_{0}.
Informação importante usada: o ajuste condicional a Z_1 usa os pares (Z_{t-1},Z_t) para t=2,\dots,n. Assim, a estimação é equivalente a uma regressão linear de Z_t em função de Z_{t-1} com intercepto, usando os n-1 pares observados.

Passo 2

Derivação do estimador por mínimos quadrados condicionais (método que o enunciado pede).
Para t=2,\dots,n escrevemos
Z_t=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_t,
que é uma regressão linear com regressores constante (intercepto \theta_{0}) e Z_{t-1}. Denotando y_t=Z_t e x_t=Z_{t-1} para t=2,\dots,n e m=n-1, os estimadores de mínimos quadrados são os mesmos da regressão com intercepto:
\widehat{\varphi}=\frac{\sum_{t=2}^{n}(x_t-\overline{x})(y_t-\overline{y})}{\sum_{t=2}^{n}(x_t-\overline{x})^{2}}, \qquad \widehat{\theta}_{0}=\overline{y}-\widehat{\varphi}\,\overline{x},
onde
\overline{x}=\frac{1}{m}\sum_{t=2}^{n}x_t,\qquad \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{t=2}^{n}y_t.
Explicação curta: essas fórmulas vêm das equações normais da regressão linear com intercepto; \widehat{\varphi} minimiza a soma de quadrados dos resíduos condicionada a Z_1.
Depois de obter \widehat{\theta}_{0} e \widehat{\varphi}, obtemos
\widehat{\mu}=\frac{\widehat{\theta}_{0}}{1-\widehat{\varphi}},
pois \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
Para a variância dos ruídos usamos a sugestão:
\widehat{\sigma}_a^{2}=\frac{S_Q(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_{0})}{\,n-2\,},
onde S_Q(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_{0})=\sum_{t=2}^{n}\bigl(y_t-\widehat{\varphi}x_t-\widehat{\theta}_{0}\bigr)^{2} é a soma dos quadrados dos resíduos e n é o número total de observações (a divisão por n-2 ajusta o grau de liberdade na estimação de dois parâmetros \varphi e \theta_{0}).

Passo 3

Organizar os dados (usando os pares (x_t,y_t)=(Z_{t-1},Z_t) para t=2,\dots,6, aqui n=6 e m=n-1=5):
\begin{array}{c|cc} t & x_t=Z_{t-1} & y_t=Z_t\\hline 2 & -1,23 & 1,31\\\\ 3 & 1,31 & 0,91\\\\ 4 & 0,91 & -0,15\\\\ 5 & -0,15 & -0,27\\\\ 6 & -0,27 & 0,78 \end{array}
Calcular as médias \overline{x} e \overline{y}:
\sum_{t=2}^{6}x_t=-1,23+1,31+0,91-0,15-0,27=0,57,
\sum_{t=2}^{6}y_t=1,31+0,91-0,15-0,27+0,78=2,58.
Logo
\overline{x}=\frac{0,57}{5}=0,114,\qquad \overline{y}=\frac{2,58}{5}=0,516.

Passo 4

Calcular os somatórios necessários para \widehat{\varphi}:
S_{xy}=\sum_{t=2}^{6}(x_t-\overline{x})(y_t-\overline{y}), \qquad S_{xx}=\sum_{t=2}^{6}(x_t-\overline{x})^{2}.
Fazendo um cálculo elemento a elemento (mostrando os números usados):
t=2: x_2-\overline{x}=-1,23-0,114=-1,344,\quad y_2-\overline{y}=1,31-0,516=0,794.
Produto = -1,344\times0,794=-1,067136. Quadrado = 1,806336.
t=3: x_3-\overline{x}=1,31-0,114=1,196,\quad y_3-\overline{y}=0,91-0,516=0,394.
Produto = 1,196\times0,394=0,471224. Quadrado = 1,430416.
t=4: x_4-\overline{x}=0,91-0,114=0,796,\quad y_4-\overline{y}=-0,15-0,516=-0,666.
Produto = 0,796\times(-0,666)=-0,530136. Quadrado = 0,633616.
t=5: x_5-\overline{x}=-0,15-0,114=-0,264,\quad y_5-\overline{y}=-0,27-0,516=-0,786.
Produto = (-0,264)\times(-0,786)=0,207504. Quadrado = 0,069696.
t=6: x_6-\overline{x}=-0,27-0,114=-0,384,\quad y_6-\overline{y}=0,78-0,516=0,264.
Produto = (-0,384)\times0,264=-0,101376. Quadrado = 0,147456.
Somando:
S_{xy}=\sum \text{produtos}=-1,067136+0,471224-0,530136+0,207504-0,101376=-1,01992.
S_{xx}=\sum \text{quadrados}=1,806336+1,430416+0,633616+0,069696+0,147456=4,08752.

Passo 5

Calcular \widehat{\varphi} e \widehat{\theta}_{0} usando as fórmulas da regressão:
\widehat{\varphi}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-1,01992}{4,08752}\approx-0,2497.
\widehat{\theta}_{0}=\overline{y}-\widehat{\varphi}\,\overline{x}=0,516-(-0,2497)\times0,114\approx0,5445.
Breve interpretação: \widehat{\varphi} é a inclinação da regressão de Z_t sobre Z_{t-1} (condicional a Z_1) e \widehat{\theta}_{0} é o intercepto estimado.

Passo 6

Calcular \widehat{\mu} a partir da relação \theta_{0}=\mu(1-\varphi):
\widehat{\mu}=\frac{\widehat{\theta}_{0}}{1-\widehat{\varphi}}=\frac{0,544466}{1-(-0,249703)}=\frac{0,544466}{1,249703}\approx0,4356.
Comentário encorajador: estamos perto de terminar — falta só a variância residual.

Passo 7

Calcular a soma de quadrados dos resíduos S_Q(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_{0})=\sum_{t=2}^{6}(y_t-\widehat{\varphi}x_t-\widehat{\theta}_{0})^{2}.
É prático usar a identidade da regressão:
SST_y=\sum_{t=2}^{6}(y_t-\overline{y})^{2}=1,91672,
\text{SSR}=\widehat{\varphi}\,S_{xy}=(-0,249703)\times(-1,01992)\approx0,25498,
S_Q = SSE = SST_y-\text{SSR}=1,91672-0,25498\approx1,66174.
(ou calculando resíduos elemento a elemento obtemos soma de quadrados aproximadamente 1,66160 — diferença pequena por arredondamento; usamos 1,6617 como valor apropriado).
Então, pela sugestão,
\widehat{\sigma}_a^{2}=\frac{S_Q}{\,n-2\,}=\frac{1,66174}{6-2}=\frac{1,66174}{4}\approx0,4154.

Passo 8

Resumo final numérico (arredondando para 4 casas decimais quando apropriado) e interpretação rápida:
  • \widehat{\varphi} é negativo, indicando uma resposta oposta do processo entre passos consecutivos nos dados analisados.
  • \widehat{\theta}_{0} e \widehat{\mu} são positivos, e \widehat{\sigma}_a^{2} dá a variabilidade não explicada pelo modelo.

Resposta

\widehat{\mu}=0,4356
\widehat{\varphi}=-0,2497
\widehat{\sigma}_{a}^{2}=0,4154
\widehat{\theta}_{0}=0,5445

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