( 2,0 pontos) Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo
de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal
no tanque em qualquer instante. Qual a quantidade de sal após
minutos? Qual a quantidade limite de sal no tanque?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
- O tanque contém inicialmente
litros de água pura. - Uma solução com concentração de sal igual a
gramas por litro entra no tanque. - A vazão de entrada é
litros por minuto. - A mistura é drenada à mesma vazão de
litros por minuto (ou seja, o volume do tanque permanece L). - A incógnita pedida é a quantidade de sal no tanque em função do tempo:
(em gramas). - Perguntas concretas:
- Encontrar
para qualquer instante (em minutos). - Calcular
. - Determinar a quantidade limite de sal no tanque quando
.
- Encontrar
Passo 2
Modelagem diferencial — entender as taxas de entrada e saída de sal.
- Ideia básica: a taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai. Em fórmula:
- Taxa de entrada de sal: a solução tem
g/L e entra a L/min, logo entra
- Taxa de saída de sal: a concentração instantânea no tanque é
(g por L). Saiem L/min dessa mistura, então sai por minuto
- Portanto a equação diferencial que modela o problema é
- Condição inicial: como o tanque começa com água pura,
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem.
- Escrevemos em forma padrão:
- Método do fator integrante: para uma equação
escolhe-se o fator integrante . Aqui é constante, então
- Multiplicando a equação pelo fator integrante obtemos uma derivada exata:
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- A integral do lado direito é
(porque ). Logo
onde
é constante de integração.
- Isolando
:
Passo 4
Aplicar a condição inicial e obter a solução particular.
- Como
, substituindo em dá
- Portanto a solução física (que satisfaz a condição inicial) é
- Interpretação curta: a solução é uma exponencial de decaimento adicionada a um valor assintótico; o termo
tende a zero quando cresce, então tende para g.
Passo 5
Calcular
.
- Substituir
na expressão encontrada:
- Assim
Passo 6
Determinar a quantidade limite quando
.
- Pela solução
, tem-se . Logo
- Verificação alternativa (equilíbrio): na situação de equilíbrio
, então e , confirmando o mesmo resultado.