( 2,0 pontos) Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal Q(t) no tanque em qualquer instante. Qual a quantidade de sal após (100 \ln 4) minutos? Qual a quantidade limite de sal no tanque?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
  • O tanque contém inicialmente 500 litros de água pura.
  • Uma solução com concentração de sal igual a 2 gramas por litro entra no tanque.
  • A vazão de entrada é 5 litros por minuto.
  • A mistura é drenada à mesma vazão de 5 litros por minuto (ou seja, o volume do tanque permanece 500 L).
  • A incógnita pedida é a quantidade de sal no tanque em função do tempo: Q(t) (em gramas).
  • Perguntas concretas:
    1. Encontrar Q(t) para qualquer instante t (em minutos).
    2. Calcular Q\bigl(100\ln 4\bigr).
    3. Determinar a quantidade limite de sal no tanque quando t\to\infty.

Passo 2

Modelagem diferencial — entender as taxas de entrada e saída de sal.
  • Ideia básica: a taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai. Em fórmula:
\frac{dQ}{dt}=\text{(taxa de entrada de sal)}-\text{(taxa de saída de sal)}.í
  • Taxa de entrada de sal: a solução tem 2 g/L e entra a 5 L/min, logo entra
2\\ \text{g/L}\times 5\\ \text{L/min}=10\\ \text{g/min}.
  • Taxa de saída de sal: a concentração instantânea no tanque é \dfrac{Q(t)}{500} (g por L). Saiem 5 L/min dessa mistura, então sai por minuto
\frac{Q(t)}{500}\\ \text{g/L}\times 5\\ \text{L/min}=\frac{5}{500}Q(t)=\frac{1}{100}Q(t)\\ \text{g/min}.
  • Portanto a equação diferencial que modela o problema é
\frac{dQ}{dt}=10-\frac{1}{100}Q.
  • Condição inicial: como o tanque começa com água pura, Q(0)=0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem.
  • Escrevemos em forma padrão:
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{100}Q=10.
  • Método do fator integrante: para uma equação \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=g(t) escolhe-se o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Aqui p(t)=\dfrac{1}{100} é constante, então
\mu(t)=e^{\int \frac{1}{100}\,dt}=e^{t/100}.
  • Multiplicando a equação pelo fator integrante obtemos uma derivada exata:
e^{t/100}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{100}e^{t/100}Q=\frac{d}{dt}\bigl(Qe^{t/100}\bigr)=10e^{t/100}.
  • Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(Qe^{t/100}\bigr)\,dt=\int 10e^{t/100}\,dt.
  • A integral do lado direito é 10\cdot 100 e^{t/100}=1000 e^{t/100} (porque \int e^{t/100}dt=100 e^{t/100}). Logo
Qe^{t/100}=1000 e^{t/100}+C,
onde C é constante de integração.
  • Isolando Q(t):
Q(t)=1000 + C e^{-t/100}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial e obter a solução particular.
  • Como Q(0)=0, substituindo em Q(t)=1000 + C e^{-t/100}
0=1000 + C e^{0}\quad\Rightarrow\quad C=-1000.
  • Portanto a solução física (que satisfaz a condição inicial) é
Q(t)=1000\bigl(1-e^{-t/100}\bigr)\\ \text{(gramas)}.
  • Interpretação curta: a solução é uma exponencial de decaimento adicionada a um valor assintótico; o termo e^{-t/100} tende a zero quando t cresce, então Q(t) tende para 1000 g.

Passo 5

Calcular Q\bigl(100\ln 4\bigr).
  • Substituir t=100\ln 4 na expressão encontrada:
e^{-t/100}=e^{-(100\ln 4)/100}=e^{-\ln 4}=\frac{1}{4}.
  • Assim
Q\bigl(100\ln 4\bigr)=1000\Bigl(1-\frac{1}{4}\Bigr)=1000\cdot\frac{3}{4}=750\\ \text{g}.

Passo 6

Determinar a quantidade limite quando t\to\infty.
  • Pela solução Q(t)=1000\bigl(1-e^{-t/100}\bigr), tem-se \lim_{t\to\infty}e^{-t/100}=0. Logo
\lim_{t\to\infty}Q(t)=1000\\ \text{g}.
  • Verificação alternativa (equilíbrio): na situação de equilíbrio \dfrac{dQ}{dt}=0, então 0=10-\dfrac{1}{100}Q e Q=1000, confirmando o mesmo resultado.

Resposta

Q(t)=1000\bigl(1-e^{-t/100}\bigr)\\ \text{g}
Q\bigl(100\ln 4\bigr)=750\\ \text{g}
\lim_{t\to\infty}Q(t)=1000\\ \text{g}

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