( 2,5 pontos) Mostre que a equação
x^{2} y^{3} d x+2 x^{3} y^{2} d y=0
não é exata. Em seguida, determine o fator integrante e resolva a equação diferencial (considere x>0 ).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y^{3}\,dx+2x^{3}y^{2}\,dy=0.
O que pede:
  • Mostrar que a forma diferencial não é exata.
  • Determinar um fator integrante (assumindo x>0).
  • Resolver a equação diferencial (ou seja, achar a família de soluções gerais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar M(x,y)=x^{2}y^{3} e N(x,y)=2x^{3}y^{2}.
  • O domínio dado é x>0, o que permite usar logaritmos de x sem problemas.

Passo 2

Verificar se a equação é exata.
Lembrete rápido (definição de exatidão): uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata em um domínio se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=3x^{2}y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}y^{2}\bigr)=6x^{2}y^{2}.
Como
3x^{2}y^{2}\neq 6x^{2}y^{2},
a equação não é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante dependente somente de x.
Motivação e fórmula prática: se a quantidade
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}
depende apenas de x, então existe um fator integrante \mu(x) função só de x dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\,dx\right).
(Explicação curta: multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se em uma forma cuja condição de exatidão se reduz à equação diferencial para \mu que leva a essa fórmula.)
Calculemos a razão:
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{3x^{2}y^{2}-6x^{2}y^{2}}{2x^{3}y^{2}}=\frac{-3x^{2}y^{2}}{2x^{3}y^{2}}=-\frac{3}{2x},
que depende somente de x. Logo podemos usar a fórmula para \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{3}{2x}\,dx\right).
Como x>0, \int -\frac{3}{2x}\,dx=-\frac{3}{2}\ln x, então
\mu(x)=\exp\!\left(-\tfrac{3}{2}\ln x\right)=x^{-3/2}.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante \mu(x)=x^{-3/2} e verificar exatidão.
Multiplicando:
\mu M = x^{-3/2}\cdot x^{2}y^{3}=x^{1/2}y^{3},
\mu N = x^{-3/2}\cdot 2x^{3}y^{2}=2x^{3/2}y^{2}.
Agora calcule as parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{1/2}y^{3}\bigr)=3x^{1/2}y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3/2}y^{2}\bigr)=2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}y^{2}=3x^{1/2}y^{2}.
As derivadas coincidem, portanto a forma multiplicada é exata.

Passo 5

Determinar a função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\mu M e \partial\Phi/\partial y=\mu N.
Integrar \partial\Phi/\partial x=\mu M=x^{1/2}y^{3} em relação a x:
\Phi(x,y)=\int x^{1/2}y^{3}\,dx = y^{3}\int x^{1/2}\,dx = y^{3}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
Agora imponha \partial\Phi/\partial y=\mu N. Calcule \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=\frac{2}{3}x^{3/2}\cdot 3y^{2}+h'(y)=2x^{3/2}y^{2}+h'(y).
Isto deve ser igual a \mu N=2x^{3/2}y^{2}. Portanto
h'(y)=0\quad\Rightarrow\quad h(y)=C,
constante real C.
Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{2}{3}x^{3/2}y^{3}+C.

Passo 6

Escrever a solução geral da equação diferencial.
A condição \Phi(x,y)=\text{constante} dá a solução implícita:
\frac{2}{3}x^{3/2}y^{3}=C_{1},
onde C_{1} é constante arbitrária (absorvendo o sinal e fatores). Podemos simplificar para uma forma explícita em y. Isolando y:
x^{3/2}y^{3}=C_{1}\quad\Rightarrow\quad (x^{1/2}y)^{3}=C_{1}\quad\Rightarrow\quad x^{1/2}y=C_{2},
onde C_{2}=C_{1}^{1/3} é outra constante arbitrária. Portanto a forma explícita é
y=C_{2}x^{-1/2},
com x>0 e C_{2} constante real.

Resposta

\dfrac{2}{3}x^{3/2}y^{3}=C
y=C\,x^{-1/2}

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