( 2,5 pontos) Mostre que a equação
não é exata. Em seguida, determine o fator integrante e resolva a equação diferencial (considere
).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que pede:
- Mostrar que a forma diferencial não é exata.
- Determinar um fator integrante (assumindo
). - Resolver a equação diferencial (ou seja, achar a família de soluções gerais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos identificar
e . - O domínio dado é
, o que permite usar logaritmos de sem problemas.
Passo 2
Verificar se a equação é exata.
Lembrete rápido (definição de exatidão): uma forma
é exata em um domínio se existe uma função
tal que
e
. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
Calculemos as derivadas parciais:
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante dependente somente de
.
Motivação e fórmula prática: se a quantidade
depende apenas de
, então existe um fator integrante
função só de
dado por
(Explicação curta: multiplicando a equação por
transforma-se em uma forma cuja condição de exatidão se reduz à equação diferencial para
que leva a essa fórmula.)
Calculemos a razão:
que depende somente de
. Logo podemos usar a fórmula para
:
Como
,
, então
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
e verificar exatidão.
Multiplicando:
Agora calcule as parciais:
As derivadas coincidem, portanto a forma multiplicada é exata.
Passo 5
Determinar a função potencial
tal que
e
.
Integrar
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Agora imponha
. Calcule
:
Isto deve ser igual a
. Portanto
constante real
.
Assim a função potencial é
Passo 6
Escrever a solução geral da equação diferencial.
A condição
dá a solução implícita:
onde
é constante arbitrária (absorvendo o sinal e fatores). Podemos simplificar para uma forma explícita em
. Isolando
:
onde
é outra constante arbitrária. Portanto a forma explícita é
com
e
constante real.