( 2,5 pontos) Trilhos condutores A e B, tendo comprimentos iguais de
e área da seção transversal de
são conectados em série. Uma diferença de potencial de 630 V é aplicada entre os terminais dos trilhos conectados em série. As resistências dos trilhos são de
e de
. Determine (a) as resistividades dos trilhos, (b) a densidade de corrente em cada trilho, (c) a intensidade do campo elétrico em cada trilho e (d) a diferença de potencial entre os terminais de cada trilho.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever tudo em TeX para ficar certinho):
- comprimento de cada trilho:
. - área da seção transversal de cada trilho:
(converti de para pois ). - resistências dos trilhos:
e . - diferença de potencial aplicada entre os terminais dos dois trilhos em série:
.
O que o enunciado pede:
(a) as resistividades de cada trilho;
(b) a densidade de corrente em cada trilho;
(c) a intensidade do campo elétrico em cada trilho;
(d) a diferença de potencial (queda de tensão) em cada trilho.
(a) as resistividades
(b) a densidade de corrente
(c) a intensidade do campo elétrico
(d) a diferença de potencial (queda de tensão)
Passo 2
Fórmula e conceito para (a). A resistência de um condutor homogêneo e uniforme relaciona-se com sua resistividade pela lei
onde
é a resistência (em
),
é a resistividade (em
),
é o comprimento (m) e
é a área da seção transversal (
). Isolando
:
Agora calculo
para cada trilho, usando os valores convertidos.
Cálculo para o trilho A:
Cálculo para o trilho B:
Explicação rápida: resistividade é uma propriedade material que diz quanto o material “resiste” ao fluxo de corrente; materiais bons condutores têm
muito pequena (ordens de
a
).
Passo 3
Para (b) primeiro precisamos calcular a corrente no circuito. Como os trilhos estão em série, a corrente é a mesma em ambos e a resistência total é
A corrente é dada por Ohm macroscópico:
Agora a densidade de corrente é definida por
onde
tem unidade
. Como a área é a mesma para os dois trilhos e a corrente também, a densidade é igual em A e em B:
Intuição: densidade de corrente é “quantos amperes por metro quadrado” estão passando — valores grandes aqui mostram correntes enormes (megampères) em uma seção relativamente pequena.
Passo 4
Para (c) usamos a relação local entre campo elétrico e densidade de corrente. A forma local da lei de Ohm para um material linear e isotrópico é
onde
é a condutividade elétrica. Como
, podemos escrever
Isso significa que, para uma densidade de corrente dada, o campo elétrico dentro do material é maior quanto maior for a resistividade.
Cálculo do campo em cada trilho (valores escalares pois estamos interessados na magnitude):
Comentário prático: trilho A tem maior resistividade, logo para a mesma
tem campo elétrico maior.
Passo 5
Para (d) a diferença de potencial (queda de tensão) ao longo de cada trilho obtém-se integrando o campo ao longo do comprimento uniforme:
(signo dependendo do sentido, aqui pedem magnitude da queda). Assim:
Verificação rápida:
, que confere com a
(diferenças pequenas só por arredondamento).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)