( 2,5 pontos) Trilhos condutores A e B, tendo comprimentos iguais de 42,6 \mathrm{~m} e área da seção transversal de 91,0 \mathrm{~cm}^{2} são conectados em série. Uma diferença de potencial de 630 V é aplicada entre os terminais dos trilhos conectados em série. As resistências dos trilhos são de 76,2 \mu \Omega e de 35 \mu \Omega. Determine (a) as resistividades dos trilhos, (b) a densidade de corrente em cada trilho, (c) a intensidade do campo elétrico em cada trilho e (d) a diferença de potencial entre os terminais de cada trilho.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever tudo em TeX para ficar certinho):
  • comprimento de cada trilho: \,L=42{,}6\\ \mathrm{m}\,.
  • área da seção transversal de cada trilho: \,A=91{,}0\\ \mathrm{cm}^2=9{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2\, (converti de \mathrm{cm}^2 para \mathrm{m}^2 pois 1\\ \mathrm{cm}^2=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2).
  • resistências dos trilhos: \,R_A=76{,}2\\ \mu\Omega=76{,}2\times10^{-6}\\ \Omega\, e \,R_B=35{,}0\\ \mu\Omega=35{,}0\times10^{-6}\\ \Omega\,.
  • diferença de potencial aplicada entre os terminais dos dois trilhos em série: \,V_{\text{total}}=630\\ \mathrm{V}\,.
O que o enunciado pede:
(a) as resistividades \rho de cada trilho;
(b) a densidade de corrente \,J em cada trilho;
(c) a intensidade do campo elétrico \,E em cada trilho;
(d) a diferença de potencial (queda de tensão) \Delta V em cada trilho.

Passo 2

Fórmula e conceito para (a). A resistência de um condutor homogêneo e uniforme relaciona-se com sua resistividade pela lei
R=\rho\frac{L}{A},
onde \,R é a resistência (em \Omega), \rho é a resistividade (em \Omega\cdot\mathrm{m}), \,L é o comprimento (m) e \,A é a área da seção transversal ( \mathrm{m}^2). Isolando \rho:
\rho = R\frac{A}{L}.
Agora calculo \rho para cada trilho, usando os valores convertidos.
Cálculo para o trilho A:
\rho_A = R_A\frac{A}{L} = \left(76{,}2\times10^{-6}\right)\frac{9{,}10\times10^{-3}}{42{,}6} =1{,}6279\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\approx1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Cálculo para o trilho B:
\rho_B = R_B\frac{A}{L} = \left(35{,}0\times10^{-6}\right)\frac{9{,}10\times10^{-3}}{42{,}6} =7{,}4779\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\approx7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Explicação rápida: resistividade é uma propriedade material que diz quanto o material “resiste” ao fluxo de corrente; materiais bons condutores têm \rho muito pequena (ordens de 10^{-8} a 10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}).

Passo 3

Para (b) primeiro precisamos calcular a corrente no circuito. Como os trilhos estão em série, a corrente é a mesma em ambos e a resistência total é
R_{\text{tot}}=R_A+R_B=(76{,}2+35{,}0)\times10^{-6}=111{,}2\times10^{-6}\\ \Omega.
A corrente é dada por Ohm macroscópico:
I=\frac{V_{\text{total}}}{R_{\text{tot}}} =\frac{630}{111{,}2\times10^{-6}} \approx5{,}6655\times10^{6}\\ \mathrm{A}\approx5{,}67\times10^{6}\\ \mathrm{A}.
Agora a densidade de corrente é definida por
J=\frac{I}{A},
onde \,J tem unidade \mathrm{A/m^2}. Como a área é a mesma para os dois trilhos e a corrente também, a densidade é igual em A e em B:
J=\frac{5{,}6655\times10^{6}}{9{,}10\times10^{-3}} \approx6{,}22\times10^{8}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Intuição: densidade de corrente é “quantos amperes por metro quadrado” estão passando — valores grandes aqui mostram correntes enormes (megampères) em uma seção relativamente pequena.

Passo 4

Para (c) usamos a relação local entre campo elétrico e densidade de corrente. A forma local da lei de Ohm para um material linear e isotrópico é
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade elétrica. Como \sigma=1/\rho, podemos escrever
\mathbf{E}=\rho\,\mathbf{J}.
Isso significa que, para uma densidade de corrente dada, o campo elétrico dentro do material é maior quanto maior for a resistividade.
Cálculo do campo em cada trilho (valores escalares pois estamos interessados na magnitude):
E_A=\rho_A J \approx\left(1{,}6279\times10^{-8}\right)\left(6{,}22\times10^{8}\right) \approx10{,}13\\ \mathrm{V/m}\approx10{,}1\\ \mathrm{V/m}.
E_B=\rho_B J \approx\left(7{,}4779\times10^{-9}\right)\left(6{,}22\times10^{8}\right) \approx4{,}65\\ \mathrm{V/m}.
Comentário prático: trilho A tem maior resistividade, logo para a mesma J tem campo elétrico maior.

Passo 5

Para (d) a diferença de potencial (queda de tensão) ao longo de cada trilho obtém-se integrando o campo ao longo do comprimento uniforme: \Delta V = E\,L (signo dependendo do sentido, aqui pedem magnitude da queda). Assim:
\Delta V_A = E_A L \approx 10{,}13\times42{,}6 \approx431{,}6\\ \mathrm{V},
\Delta V_B = E_B L \approx 4{,}65\times42{,}6 \approx198{,}4\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: \Delta V_A+\Delta V_B\approx431{,}6+198{,}4=630{,}0\\ \mathrm{V}, que confere com a \,V_{\text{total}}=630\\ \mathrm{V} (diferenças pequenas só por arredondamento).

Resposta

(a) \rho_A=1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},\\ \rho_B=7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
(b) J_A=J_B=6{,}22\times10^{8}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
(c) E_A=10{,}1\\ \mathrm{V/m},\\ E_B=4{,}65\\ \mathrm{V/m}.
(d) \Delta V_A=431{,}6\\ \mathrm{V},\\ \Delta V_B=198{,}4\\ \mathrm{V}.

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