Uma onda transversal propaga-se no sentido positivo do eixo % com velocidade de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, amplitude de 5,0 \mathrm{~cm} e frequência ígual a 20 Hz . Suponha que esta onda se some a uma segunda onda, de mesma frequencia, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas com uma diferença de fase igual a \pi / 3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que vou responder (o enunciado não perguntou explicitamente, então vou determinar as grandezas mais úteis quando se somam duas ondas iguais com diferença de fase):
Dados fornecidos:
  • velocidade da onda: v=1,0\\ \mathrm{m/s}.
  • amplitude de cada onda: A=5,0\\ \mathrm{cm}.
  • frequência: f=20\\ \mathrm{Hz}.
  • as duas ondas têm mesma frequência, mesmo comprimento de onda e mesma velocidade.
  • diferença de fase entre as duas ondas: \Delta\varphi=\pi/3.
O que vou encontrar:
  1. a amplitude resultante quando as duas ondas se somam;
  2. a expressão da onda resultante y(x,t) (ou seja, a função deslocamento em função de x e t).

Passo 2

Primeiro organizo unidades e calculo grandezas básicas (vou explicar cada fórmula):
  • Converter amplitude para metros: \displaystyle A=5,0\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • A frequência f está em hertz; a pulsação (frequência angular) \omega é dada por \displaystyle \omega=2\pi f. Isso vem de que uma revolução completa corresponde a 2\pi radianos. Então:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 20 = 40\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • O comprimento de onda \lambda é ligado à velocidade por \displaystyle v=f\lambda. Assim:
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1,0}{20} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • O número de onda k (que aparece nas equações de onda) é \displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}. Portanto:
k = \frac{2\pi}{0,05} = 40\pi\\ \mathrm{rad/m}.
Observação rápida: notou que \omega=40\pi e k=40\pi? Isso acontece porque v=\omega/k e aqui v=1, então numericamente \omega e k coincidem (mesmas unidades diferentes).

Passo 3

Escrevo a forma geral de uma onda transversal progressiva que se propaga no sentido positivo de x:
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi_0),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento, em metros);
  • k é o número de onda ( \mathrm{rad/m});
  • \omega é a pulsação ( \mathrm{rad/s});
  • \varphi_0 é a fase inicial (em radianos), que desloca a função no tempo/espaço.
Para as duas ondas do problema posso escolher a primeira com fase zero e a segunda com fase \Delta\varphi=\pi/3 em relação à primeira. Então:
y_1(x,t)=A\cos(kx-\omega t),
y_2(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t+\tfrac{\pi}{3}\big).
Aqui peguei \Delta\varphi=\tfrac{\pi}{3} do enunciado.

Passo 4

Agora somo as duas ondas ponto a ponto: y=y_1+y_2. Vou usar a identidade trigonométrica fundamental para soma de cossenos:
\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\!\Big(\frac{\alpha+\beta}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{\alpha-\beta}{2}\Big).
Aplicando com \alpha=kx-\omega t e \beta=kx-\omega t+\tfrac{\pi}{3}:
  • \displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} = kx-\omega t + \frac{\pi}{6}.
  • \displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2} = -\frac{\pi}{6} (mas \cos é par, então \cos(-\pi/6)=\cos(\pi/6)).
Logo
y(x,t)=2A\cos\!\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\cos\!\Big(kx-\omega t+\frac{\pi}{6}\Big).
Isto mostra que a amplitude resultante A_r é
A_r = 2A\cos\!\Big(\frac{\pi}{6}\Big).

Passo 5

Calculo numericamente a amplitude resultante e escrevo a forma final:
  • Primeiro avalio \cos(\pi/6). Sabe-se que \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2. Então:
A_r = 2A\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = A\sqrt{3}.
  • Substituindo A=0,05\\ \mathrm{m}:
A_r = 0,05\sqrt{3}\\ \mathrm{m} \approx 0,0866\\ \mathrm{m}.
Em centímetros: A_r\approx 8,66\\ \mathrm{cm}.
A equação completa da onda resultante fica:
y(x,t)=A\sqrt{3}\cos\!\Big(kx-\omega t+\frac{\pi}{6}\Big).
Substituindo k=40\pi e \omega=40\pi:
y(x,t)=0,05\sqrt{3}\cos\!\Big(40\pi x - 40\pi t + \frac{\pi}{6}\Big)\\ \mathrm{m}.
(onde x está em metros e t em segundos).

Passo 6

Interpretação física (dica de prova):
  • A soma resultou numa amplitude maior que cada onda isolada ( 8,66\\ \mathrm{cm} > 5,0\\ \mathrm{cm}) porque há interferência parcialmente construtiva: fase \Delta\varphi=\pi/3 gera ganho A_r=2A\cos(\Delta\varphi/2).
  • Regra útil para prova (memorizável): para duas ondas iguais com diferença de fase \Delta\varphi,
A_r = 2A\cos\!\Big(\frac{\Delta\varphi}{2}\Big).
  • Exemplos rápidos: se \Delta\varphi=0 então A_r=2A (interferência construtiva máxima); se \Delta\varphi=\pi então A_r=0 (interferência destrutiva completa).
Força aí — você já tem a fórmula pronta e sabe usar no tempo de prova!

Resposta

Amplitude resultante: A_r=0,05\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx0,0866\\ \mathrm{m}=8,66\\ \mathrm{cm}
Equação resultante: y(x,t)=0,05\sqrt{3}\cos\!\big(40\pi x - 40\pi t + \tfrac{\pi}{6}\big)\\ \mathrm{m}

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