(2 pontos) Sabendo que sen x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}, para todo x \in \mathbb{R}, encontre uma série de potências de x que represente a função f(x)=\cos (2 x).

Passo 1

O enunciado dá a série de Taylor de \sin x e pede uma série de potências de x para f(x)=\cos(2x). Vamos usar a série de Maclaurin de \cos x e depois fazer a substituição x\mapsto 2x.

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos x é
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!},
válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Substituindo x por 2x na série de \cos x, obtemos
\cos(2x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}.

Resposta

f(x)=\cos(2x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}.

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