(2 pontos) Usando o teste da razão, verifique a convergência da série.
sumn=1^infty n5^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty n5^n usando o teste da razão. A matéria aqui é séries numéricas e vamos precisar do teste da razão, que diz que se limntoinfty|an+1an|<1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Definindo an=n5^n, calculamos a razão dos termos consecutivos da seguinte forma:
an+1an=n+15^n+1n5^n=n+1ncdot15

Passo 3

Agora avaliamos o limite:
limntoinftyn+1ncdot15=15
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, pois limntoinfty|an+1/an|=15<1.

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