(2 pt) Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido entre os paraboloides z=5x²+5y² (inferior) e z=6−7x²−y² (superior). Vamos precisar de integração dupla sobre a região projetada no plano xy e, para simplificar, usar mudança de variáveis que transforme a elipse em círculo.
Passo 2
Para determinar a região D no plano xy, igualamos as duas superfícies: 5x²+5y²=6−7x²−y². Logo,
Passo 3
Passo 4
que simplifica para
Passo 5
Passo 6
Portanto, D é a região interna à elipse
.
Passo 7
O volume é dado por
Passo 8
Passo 9
Para transformar a elipse em círculo unitário, fazemos
Passo 10
Passo 11
O jacobiano é
e a função dentro da integral vira
Passo 12
Passo 13
Assim
Passo 14
Passo 15
Calculando a integral interna:
Passo 16
Passo 17
Logo o volume é
Passo 18
Resposta
O volume do sólido é
.