(2 pt) Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z=5 x^2+5 y^2 e z=6-7 x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido entre os paraboloides z=5x²+5y² (inferior) e z=6−7x²−y² (superior). Vamos precisar de integração dupla sobre a região projetada no plano xy e, para simplificar, usar mudança de variáveis que transforme a elipse em círculo.

Passo 2

Para determinar a região D no plano xy, igualamos as duas superfícies: 5x²+5y²=6−7x²−y². Logo,

Passo 3

12x^2+6y^2=6

Passo 4

que simplifica para

Passo 5

2x^2+y^2=1

Passo 6

Portanto, D é a região interna à elipse 2x^2+y^2<=1.

Passo 7

O volume é dado por

Passo 8

V=integral duplaDl[(6-7x^2-y^2)-(5x^2+5y^2)r],dA=integral duplaD(6-12x^2-6y^2),dA

Passo 9

Para transformar a elipse em círculo unitário, fazemos

Passo 10

x=rcosthetaraiz2, y=rsintheta, 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi

Passo 11

O jacobiano é J=tfracrraiz2 e a função dentro da integral vira

Passo 12

6-12x^2-6y^2=6-12r^2cos^2theta2-6r^2sin^2theta=6-6r^2

Passo 13

Assim

Passo 14

V=integral0^2piintegral0^1(6-6r^2)rraiz2,dr,dtheta

Passo 15

Calculando a integral interna:

Passo 16

integral0^1(6r-6r^3),dr=l[3r^2-tfrac64r^4r]0^1=3-tfrac32=tfrac32

Passo 17

Logo o volume é

Passo 18

V=1raiz2cdot2picdot32=3piraiz2=3raiz2, pi2

Resposta

O volume do sólido é 3raiz2,pi2.

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