(2,5 Pontos) Usando o Teste da Segunda Derivada determine os valores máximos e mínimos locais; e pontos de sela da função
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Segunda Derivada em
para classificar pontos críticos da função
cujo domínio é
. Vamos primeiro achar os pontos críticos resolvendo
e depois usar as segundas derivadas para ver se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais primeiras e igualemos a zero:
O sistema
é
Passo 3
Da primeira equação tiramos
Substituindo na segunda:
Logo
e, de
, vem
. Há, portanto, um único ponto crítico
.
Passo 4
Agora as segundas derivadas:
Em
isso dá
O determinante da Hessiana é
Como
e
, o ponto crítico é um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é
, e esse ponto é um máximo local com valor
Não há mínimos locais nem pontos de sela.