(2,5 Pontos) Usando o Teste da Segunda Derivada determine os valores máximos e mínimos locais; e pontos de sela da função f(x, y)=y raizx-y^2-2 x+7 y.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Segunda Derivada em R^2 para classificar pontos críticos da função
f(x,y)=yraizx - y^2 - 2,x + 7,y,
cujo domínio é x>=0. Vamos primeiro achar os pontos críticos resolvendo nabla f=0 e depois usar as segundas derivadas para ver se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais primeiras e igualemos a zero:
partial fpartial x =y2raizx-2, partial fpartial y =raizx-2,y+7
O sistema nabla f=0 é
y2raizx-2=0, raizx-2,y+7=0

Passo 3

Da primeira equação tiramos
y2raizx=2 Longrightarrow y=4raizx
Substituindo na segunda:
raizx-2l(4raizxr)+7=0 Longrightarrow raizx-8raizx+7=0 Longrightarrow -7raizx+7=0 Longrightarrow raizx=1
Logo x=1 e, de y=4raizx, vem y=4. Há, portanto, um único ponto crítico (1,4).

Passo 4

Agora as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 =-y4,x^3/2, partial^2 fpartial y^2 =-2, partial^2 fpartial xpartial y =12raizx
Em (1,4) isso dá
fxx=-1, fyy=-2, fxy=tfrac12
O determinante da Hessiana é
D =fxx,fyy-(fxy)^2 =(-1)(-2)-l(tfrac12r)^2 =2-tfrac14 =tfrac74>0
Como D>0 e fxx<0, o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1,4), e esse ponto é um máximo local com valor
f(1,4)=4cdot1-4^2-2cdot1+7cdot4=14
Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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