Umsistemamassa-molacom35kgdemassaeumamoladerigidezde6.000 N/m vibra sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito é 0,16 . Quando sujeito a uma força harmônica de frequência 5 Hz , constata-se que amassavibraa uma amplitude de 50 mm . Determine a amplitude da força harmônica aplicada à massa e o seu ângulo de fase.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com massa \,m=0,35\:\mathrm{kg}\,, rigidez da mola \,k=6000\:\mathrm{N/m}\, e atrito de Coulomb com coeficiente \,\mu=0,16. O sistema é forçado por uma força harmônica de frequência \,f=5\:\mathrm{Hz} e responde com amplitude de deslocamento \,X=50\:\mathrm{mm}=0,05\:\mathrm{m}. Queremos determinar a amplitude da força aplicada \,F_0 e o ângulo de fase \,\varphi. Para isso usamos a aproximação que retém apenas o componente fundamental da força de atrito, cuja amplitude é \,\tfrac{4F_f}{\pi}, e tratamos o problema como um oscilador linear efetivamente amortecido.

Passo 2

Calculamos a força de atrito de Coulomb
F_f = \mu\,m\,g
com g=9,81\:\mathrm{m/s^2}. Assim,
F_f = 0,16 \times 0,35 \times 9,81 \approx 0,549\:\mathrm{N}.

Passo 3

A frequência angular vale
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 \approx 31{,}416\:\mathrm{rad/s}.
O termo de rigidez efetiva é
k - m\,\omega^2 = 6000 - 0,35\times(31{,}416)^2 \approx 5654{,}56\:\mathrm{N/m}.

Passo 4

Na aproximação harmônica, a amplitude da força de excitação \,F_0 satisfaz
F_0 = X \,\sqrt{\bigl(k - m\,\omega^2\bigr)^2 + \Bigl(\frac{4F_f}{\pi\,X}\Bigr)^2}
e o ângulo de fase é
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{4F_f}{\pi\,X\,(k - m\,\omega^2)}\Bigr).

Passo 5

Substituindo números:
(k - m\,\omega^2)\,X = 5654,56 \times 0,05 = 282,73\:\mathrm{N},
\frac{4F_f}{\pi\,X} = \frac{4\times 0,549}{\pi\times 0,05}\approx 13,99\:\mathrm{N}.
Logo,
F_0 = 0,05 \,\sqrt{(5654,56)^2 + (13,99)^2} \approx 283{,}3\:\mathrm{N},
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{13,99}{282,73}\Bigr) \approx 2{,}84^\circ.

Resposta

A amplitude da força harmônica é aproximadamente F_0=283{,}3\:\mathrm{N} e o ângulo de fase é \varphi\approx2{,}84^\circ.

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