( 2,0 pontos) Use a definição de inclinação para encontrar a equação da reta tangente ao grêaco de
no ponto ( 0,1 ).
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Informações e o que sabemos a partir do enunciado:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. Verificação rápida: , ou seja, o ponto realmente pertence ao gráfico. - O enunciado pede a equação da reta tangente nesse ponto. Para isso precisamos do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em
e então usar a fórmula da reta.
Passo 2
Definição de inclinação (derivada) pelo quociente de diferenças: a inclinação da reta tangente à curva em
é o limite das inclinações das secantes quando o segundo ponto se aproxima de
. Em símbolo:
Aqui:
-
é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente; -
é o incremento em ; -
e são as ordenadas dos pontos da secante.
Vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Escrevendo o quociente de diferenças para a nossa função em
:
Esse limite dá a inclinação da reta tangente em
.
Passo 4
Para calcular o limite, usamos uma técnica algébrica que elimina a forma indeterminada: considere
. Então o numerador é
e vale a identidade
Mas
, logo
. Assim
Dividindo ambos os lados por
(quando
) obtemos
Voltando à variável
(lembre que
), temos
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Quando
, temos
. Portanto cada termo do denominador tende a
, então o denominador tende a
. Assim
Ou seja, a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, usamos a fórmula ponto-de-reta:
Substituindo:
Simplificando: