( 2,0 pontos) Use a definição de inclinação para encontrar a equação da reta tangente ao grêaco de f(x)=\sqrt[4]{x+1} no ponto ( 0,1 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\sqrt[4]{x+1} no ponto (0,1). Informações e o que sabemos a partir do enunciado:
  • A função é f(x)=\sqrt[4]{x+1}=(x+1)^{1/4}.
  • O ponto de tangência é (x_0,y_0)=(0,1). Verificação rápida: f(0)=(0+1)^{1/4}=1, ou seja, o ponto realmente pertence ao gráfico.
  • O enunciado pede a equação da reta tangente nesse ponto. Para isso precisamos do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em x_0=0 e então usar a fórmula da reta.

Passo 2

Definição de inclinação (derivada) pelo quociente de diferenças: a inclinação da reta tangente à curva em x_0 é o limite das inclinações das secantes quando o segundo ponto se aproxima de x_0. Em símbolo:
m=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Aqui:
  • m é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente;
  • h é o incremento em x;
  • f(x_0+h) e f(x_0) são as ordenadas dos pontos da secante.
Vamos aplicar isso com x_0=0.

Passo 3

Escrevendo o quociente de diferenças para a nossa função em x_0=0:
m=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^{1/4}-1}{h}.
Esse limite dá a inclinação da reta tangente em x=0.

Passo 4

Para calcular o limite, usamos uma técnica algébrica que elimina a forma indeterminada: considere A=(1+h)^{1/4}. Então o numerador é A-1 e vale a identidade
(A-1)\bigl(A^3+A^2+A+1\bigr)=A^4-1.
Mas A^4=(1+h), logo A^4-1=(1+h)-1=h. Assim
(A-1)\bigl(A^3+A^2+A+1\bigr)=h.
Dividindo ambos os lados por h\bigl(A^3+A^2+A+1\bigr) (quando h\neq0) obtemos
\frac{A-1}{h}=\frac{1}{A^3+A^2+A+1}.
Voltando à variável h (lembre que A=(1+h)^{1/4}), temos
\frac{(1+h)^{1/4}-1}{h}=\frac{1}{(1+h)^{3/4}+(1+h)^{2/4}+(1+h)^{1/4}+1}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0. Quando h\to0, temos (1+h)^{1/4}\to1. Portanto cada termo do denominador tende a 1, então o denominador tende a 1+1+1+1=4. Assim
m=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^{1/4}-1}{h}=\frac{1}{4}.
Ou seja, a inclinação da reta tangente em x=0 é m=\dfrac{1}{4}.

Passo 6

Com a inclinação m=\dfrac{1}{4} e o ponto de tangência (x_0,y_0)=(0,1), usamos a fórmula ponto-de-reta:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo:
y-1=\frac{1}{4}(x-0).
Simplificando:
y=1+\frac{1}{4}x.

Resposta

y=1+\dfrac{1}{4}x

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