(2,0 pontos) Use o Teorema do valor intermediário para mostrar que a função
possui um zero no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a função
definida por
possui um zero no intervalo
.
Informações fornecidas e relevantes:
- A função é
. - O intervalo em que devo provar a existência de um zero é
. - Não foram dadas outras informações numéricas além da expressão da função e do intervalo.
Passo 2
Vou explicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e as hipóteses que preciso verificar (aula rápida e direta).
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário:
O que isso significa, em palavras simples: se uma função é contínua num intervalo fechado e os valores nos extremos do intervalo têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então a função atravessa o eixo
em algum ponto dentro do intervalo — ou seja, tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Agora, por que posso aplicar o TVI a
? Preciso verificar que
é contínua em
.
- A função
é contínua para todo . - A função
(polinômio) é contínua para todo . - A diferença de funções contínuas é contínua.
Logo,é contínua em todo , em particular em .
Passo 3
Calcular
nas extremidades do intervalo e verificar sinais.
Calcular
:
Portanto
.
Calcular
:
Como
, conclui-se que
. Assim
.
Resumo:
e
, ou seja,
.
Passo 4
Aplicação do Teorema do Valor Intermediário.
Tem-se que
é contínua em
(Passo 2) e que
e
têm sinais opostos (Passo 3). Portanto, pelas hipóteses do TVI, existe pelo menos um
no intervalo aberto
tal que
.
Uma intuição: como
é uma função contínua que em
está acima do eixo (
) e em
está claramente abaixo do eixo (
), a curva tem de cortar o eixo
em algum ponto entre
e
.