(2,0 pontos) Use o Teorema do valor intermediário para mostrar que a função
f(x)=\cos x-x^{5}
possui um zero no intervalo [0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a função f definida por
f(x)=\cos x - x^{5}
possui um zero no intervalo [0,\pi].
Informações fornecidas e relevantes:
  • A função é f(x)=\cos x - x^{5}.
  • O intervalo em que devo provar a existência de um zero é [0,\pi].
  • Não foram dadas outras informações numéricas além da expressão da função e do intervalo.

Passo 2

Vou explicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e as hipóteses que preciso verificar (aula rápida e direta).
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário:
\text{Se }g\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }g(a)\cdot g(b)<0,\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ tal que }g\text{(c)}=0.éíã
O que isso significa, em palavras simples: se uma função é contínua num intervalo fechado e os valores nos extremos do intervalo têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então a função atravessa o eixo x em algum ponto dentro do intervalo — ou seja, tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Agora, por que posso aplicar o TVI a f? Preciso verificar que f é contínua em [0,\pi].
  • A função \cos x é contínua para todo x.
  • A função x^{5} (polinômio) é contínua para todo x.
  • A diferença de funções contínuas é contínua.
    Logo, f(x)=\cos x - x^{5} é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [0,\pi].

Passo 3

Calcular f nas extremidades do intervalo e verificar sinais.
Calcular f(0):
f(0)=\cos 0 - 0^{5}=1-0=1.
Portanto f(0)=1>0.
Calcular f(\pi):
f(\pi)=\cos \pi - \pi^{5} = -1 - \pi^{5}.
Como \pi^{5}>0, conclui-se que -1-\pi^{5}<0. Assim f(\pi)<0.
Resumo: f(0)>0 e f(\pi)<0, ou seja, f(0)\cdot f(\pi)<0.

Passo 4

Aplicação do Teorema do Valor Intermediário.
Tem-se que f é contínua em [0,\pi] (Passo 2) e que f(0) e f(\pi) têm sinais opostos (Passo 3). Portanto, pelas hipóteses do TVI, existe pelo menos um c no intervalo aberto (0,\pi) tal que f\text{(c)}=0.
Uma intuição: como f é uma função contínua que em 0 está acima do eixo ( f(0)=1) e em \pi está claramente abaixo do eixo ( f(\pi)<0), a curva tem de cortar o eixo x em algum ponto entre 0 e \pi.

Resposta

\exists c\in[0,\pi] tal que f\text{(c)}=0.

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