Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
20. \int_{0}^{+\infty} e^{-s t} d t
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores do parâmetro s tais que a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt
é convergente. Informações dadas:
A variável de integração é t e o intervalo é [0,+\infty).
O integrando é e^{-s t}, onde s é um parâmetro (pode ser real ou complexo).
A pergunta é: para quais s essa integral converge?
Passo 2
Definição prática de integral imprópria neste caso: interpretar
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt
como o limite
\lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A} e^{-s t}\,dt.
Ou seja, primeiro calculamos a integral no intervalo finito [0,A] e depois fazemos A\to+\infty. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge.
Passo 3
Calcular a primitiva (antiderivada) de e^{-s t}. Supondo s\neq 0, a primitiva é dada por
\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s} e^{-s t} + C.
Explicação curta do porquê: derivando -\dfrac{1}{s}e^{-s t} obtemos -\dfrac{1}{s}\cdot(-s)e^{-s t}=e^{-s t}. Aqui s é o parâmetro da função; essa fórmula vale para qualquer s\neq 0.
Passo 4
Avaliar a integral definida de 0 a A usando a primitiva:
que é finito. Conclusão: para s>0 a integral converge e vale \dfrac{1}{s}. Intuitivamente: o fator e^{-s t} decai rápido quando s>0, então a área total é finita.
Passo 6
Caso s=0 (considerando s real): o integrando fica e^{0}=1 e a integral é
\int_{0}^{+\infty} 1\,dt,
que claramente diverge (o limite \lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A}1\,dt=\lim_{A\to+\infty}A=+\infty). A fórmula da primitiva usada antes não é válida em s=0, então há que tratar separadamente. Conclusão: para s=0 a integral diverge.
Passo 7
Caso s<0 (considerando s real): escrevendo s=-\sigma com \sigma>0, temos e^{-sA}=e^{\sigma A} que cresce sem limite quando A\to+\infty. Na expressão
\frac{1}{s}\bigl(1 - e^{-sA}\bigr)
o termo e^{-sA} domina e a expressão diverge (o limite não é finito). Intuitivamente: quando s<0 o integrando cresce exponencialmente e a área fica infinita. Conclusão: para s<0 a integral diverge.
Passo 8
Generalização ao caso s\in\mathbb{C}: escrevendo s=a+ib com a=\operatorname{Re}(s) e b=\operatorname{Im}(s), tem-se
e^{-s t}=e^{-a t}e^{-i b t},
logo |e^{-s t}|=e^{-a t}. A convergência (mesmo a convergência absoluta) da integral impropria exige que e^{-a t} seja integrável em [0,\infty), o que ocorre exatamente quando a>0. Portanto, para s complexo a condição necessária e suficiente de convergência é \operatorname{Re}(s)>0. Observação: isso reduz ao caso real s>0 quando s é real.