Q5. ( 1,0 ponto) Dada a equação 9 x y-x^{3}-y^{3}=0, encontre \frac{d y}{d x} por diferenciação implícita.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
9xy - x^3 - y^3 = 0
e pede \frac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, que usa regra do produto e regra da cadeia para derivar termos com y(x).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(9xy) - \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(y^3) = 0.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(9xy)=9\bigl(x\frac{dy}{dx}+y\cdot1\bigr),
pela potência
\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2,
e pela cadeia
\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}.
Logo a equação derivada fica
9\bigl(x\frac{dy}{dx}+y\bigr)-3x^2-3y^2\frac{dy}{dx}=0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm \frac{dy}{dx} e isolando-o:
9x\frac{dy}{dx}-3y^2\frac{dy}{dx} + 9y - 3x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; (9x - 3y^2)\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 9y.
Dividindo ambos os lados por 9x-3y^2 e simplificando fator 3:
\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2-9y}{9x-3y^2} = \frac{x^2-3y}{3x - y^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 3y}{3x - y^2}.

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