(2,5 Pontos) Use o método dos autovalores para resolver o sistema o sistema de EDO’s homogêneo.
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x-y+2 z \\\ y^{\prime}=-x+y \\\ z^{\prime}=-x+z \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear homogêneo de três equações diferenciais de primeira ordem e pede: “usar o método dos autovalores para resolver o sistema”. As equações (todas as informações dadas) são:
Explicar: procurar soluções do tipo \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t} converte a EDO num problema de autovalores (A-\lambda I)\mathbf{v}=0.]
Passo 3
Derivação da condição de autovalores e autovetores (mini-aula):
Se \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t} com \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, então \mathbf{x}'=\lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}.
Inserindo em \mathbf{x}'=A\mathbf{x} obtemos \lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}=A\mathbf{v}e^{\lambda t}, logo (A-\lambda I)\mathbf{v}=0.
Isso significa que \lambda deve ser um autovalor de A (determinante zero) e \mathbf{v} um autovetor não-nulo associado.
Se A tem três autovetores reais linearmente independentes, a solução geral é combinação linear de \mathbf{v}e^{\lambda t}. Se houver autovalores complexos conjugados, obtemos soluções reais usando as partes real e imaginária de \mathbf{v}e^{\lambda t} (veja passos abaixo).
Passo 4
Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Começando com
Comentário didático: apareceu um par complexo conjugado \,1\pm i. Com matriz real isso é normal; a contribuição desse par à solução real será uma combinação de e^{t}\cos t e e^{t}\sin t.]
Passo 5
Encontrar o autovetor associado a \lambda_1=1\). Resolvemos \((A-I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). A matriz \(A-I\) é
\[A-I=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Então uma solução real associada é \mathbf{v}_1 e^{t}=e^{t}(0,2,1)^T.]
Passo 6
Agora o autovalor complexo \lambda=1+i\). Procuramos um autovetor complexo \(\mathbf{v}\) tal que \((A-(1+i)I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). Escrevendo \(\mathbf{v}=(a,b,c)^T\) (valores complexos), as equações são
\[\begin{cases} (-i)\,a - b +2c=0,\\[4pt] - a +(-i)\,b =0,\\[4pt] - a +(-i)\,c =0, \end{cases}
pois 1-(1+i)=-i\]. Das duas últimas equações obtemos
\[a=-i b,\qquad a=-i c \quad\Rightarrow\quad b=c.\]
Tomando \(b=c=1 (escolha conveniente) dá a=-i. Um autovetor correspondente é
Como a matriz é real, a conjugada \overline{\mathbf{v}} é autovetor para \lambda=1-i. Para obter soluções reais a partir do par complexo usamos a fórmula padrão:
se \lambda=\alpha+i\beta com vetor complexo \mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q} (com \mathbf{p},\mathbf{q} reais), então duas soluções reais independentes são
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 são reais e linearmente independentes entre si e também independentes de \mathbf{v}_1 e^{t}.]
Passo 9
A solução geral real do sistema é a combinação linear das três soluções reais independentes encontradas (\mathbf{v}_1 e^{t},\mathbf{u}_1(t),\mathbf{u}_2(t)). Introduzindo constantes reais arbitrárias C_1,C_2,C_3, obtemos: