Determine os extremos locais e absolutos de
f(x)=x \sqrt{4-x^{2}}
no intervalo [-2,2].

Passo 1

O enunciado pede que se determinem os extremos locais e absolutos da função
f(x)=x\sqrt{4-x^{2}}
no intervalo [-2,2].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x\sqrt{4-x^{2}}.
  • O intervalo considerado é [-2,2].
O que será preciso encontrar:
  • Todos os pontos de [-2,2] onde f tem extremos locais (máximos ou mínimos locais).
  • Os extremos absolutos (máximo absoluto e mínimo absoluto) no intervalo fechado [-2,2].

Passo 2

Determinar o domínio e observar os pontos relevantes.
A raiz exige 4-x^{2}\ge 0, portanto o domínio natural da função é [-2,2], que coincide exatamente com o intervalo onde devemos procurar extremos. Assim os candidatos possíveis a extremos são:
  • pontos críticos interiores onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe (dentro de (-2,2));
  • os extremos também podem ocorrer nas bordas x=-2 e x=2.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo (produto + regra da cadeia).
Escrevemos f(x)=x\,(4-x^{2})^{1/2}. Usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=(4-x^{2})^{1/2}, então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x)=1. Para v'(x) usamos a regra da cadeia: se v(x)=(g(x))^{1/2} com g(x)=4-x^{2}, então
v'(x)=\frac{1}{2}(g(x))^{-1/2}\cdot g'(x).
Como g'(x)=-2x, obtemos
v'(x)=\frac{1}{2}(4-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{(4-x^{2})^{1/2}}.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=(4-x^{2})^{1/2}+x\left(-\frac{x}{(4-x^{2})^{1/2}}\right).
Simplificando colocando sobre o mesmo denominador (4-x^{2})^{1/2}:
f'(x)=\frac{4-x^{2}}{(4-x^{2})^{1/2}}-\frac{x^{2}}{(4-x^{2})^{1/2}} =\frac{4-2x^{2}}{(4-x^{2})^{1/2}}.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e observando onde f'(x) não existe.
A derivada tem a forma
f'(x)=\frac{4-2x^{2}}{(4-x^{2})^{1/2}}.
No intervalo aberto (-2,2) o denominador (4-x^{2})^{1/2} é positivo, logo o sinal de f'(x) é dado pelo numerador 4-2x^{2}.
Resolver f'(x)=0 equivale a resolver
4-2x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Pontos onde f'(x) não existe: o denominador é zero em x=\pm 2, mas esses pontos são exatamente os extremos do intervalo e já os consideraremos separadamente. Portanto os candidatos interiores são x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}. Além destes, incluímos as bordas x=-2 e x=2 entre os candidatos.

Passo 5

Calcular os valores de f nesses pontos candidatos.
Usando f(x)=x\sqrt{4-x^{2}}:
  • Para x=\sqrt{2}:
f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\sqrt{4-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\sqrt{2}=2.
  • Para x=-\sqrt{2}:
f(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}\sqrt{4-2}=-\sqrt{2}\sqrt{2}=-2.
  • Para x=2:
f(2)=2\sqrt{4-4}=2\cdot 0=0.
  • Para x=-2:
f(-2)=-2\sqrt{4-4}=-2\cdot 0=0.
Anotação: também f(0)=0, mas x=0 não é ponto crítico (pois f'(0)=2\neq0); incluímos esse valor apenas como referência.

Passo 6

Classificar os extremos (local/absoluto) usando o sinal de f'(x) — análise de monotonicidade.
Temos
f'(x)=\frac{4-2x^{2}}{(4-x^{2})^{1/2}}=\frac{2(2-x^{2})}{(4-x^{2})^{1/2}}.
No interior (-2,2) o denominador é positivo, então o sinal de f' é o sinal de 2-x^{2}.
  • Se |x|<\sqrt{2} então x^{2}<2 e f'(x)>0. Logo f é crescente em (-\,\sqrt{2},\sqrt{2}).
  • Se |x|>\sqrt{2} (ou seja x\in(-2,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},2)) então x^{2}>2 e f'(x)<0. Logo f é decrescente nessas duas faixas.
Dessa análise de sinais:
  • Em x=-\sqrt{2} o sinal de f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso caracteriza um mínimo local em x=-\sqrt{2}.
  • Em x=\sqrt{2} o sinal de f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza um máximo local em x=\sqrt{2}.
Agora verificar as bordas x=-2 e x=2 (extremos do intervalo):
  • Para x logo à direita de -2 estamos em (-2,-\sqrt{2}), onde f'<0. Assim, ao mover-se para a direita a partir de -2 a função decresce, ou seja f(-2) \ge f(x) para x próximo à direita. Como não há pontos à esquerda (fora do domínio), x=-2 é um máximo local relativo ao domínio (mas não o máximo absoluto, pois f(\sqrt{2})=2>0=f(-2)).
  • Para x logo à esquerda de 2 estamos em (\sqrt{2},2), onde f'<0. Isso significa que aproximando-se de 2 pela esquerda os valores de f decrescem até f(2); portanto f(2) é menor que os valores à sua esquerda próximos, logo x=2 é um mínimo local (relativo ao domínio). Entretanto esse mínimo local em x=2 tem valor 0, que não é o mínimo absoluto (pois f(-\sqrt{2})=-2<0).

Passo 7

Determinar os extremos absolutos comparando os valores já calculados.
Valores em candidatos:
f(-2)=0,\quad f(-\sqrt{2})=-2,\quad f(\sqrt{2})=2,\quad f(2)=0.
O maior desses valores é 2 em x=\sqrt{2}. O menor é -2 em x=-\sqrt{2}. Portanto:
  • Máximo absoluto: f(\sqrt{2})=2.
  • Mínimo absoluto: f(-\sqrt{2})=-2.

Resposta

Máximo absoluto: f(\sqrt{2})=2
Mínimo absoluto: f(-\sqrt{2})=-2
Máximo local (não absoluto): f(-2)=0 em x=-2
Mínimo local (não absoluto): f(2)=0 em x=2

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