Determine os extremos locais e absolutos de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede que se determinem os extremos locais e absolutos da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
.
O que será preciso encontrar:
- Todos os pontos de
onde tem extremos locais (máximos ou mínimos locais). - Os extremos absolutos (máximo absoluto e mínimo absoluto) no intervalo fechado
.
Passo 2
Determinar o domínio e observar os pontos relevantes.
A raiz exige
, portanto o domínio natural da função é
, que coincide exatamente com o intervalo onde devemos procurar extremos. Assim os candidatos possíveis a extremos são:
- pontos críticos interiores onde
ou não existe (dentro de ); - os extremos também podem ocorrer nas bordas
e .
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo (produto + regra da cadeia).
Escrevemos
. Usamos a regra do produto: se
e
, então
Aqui
. Para
usamos a regra da cadeia: se
com
, então
Como
, obtemos
Substituindo em
:
Simplificando colocando sobre o mesmo denominador
:
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
e observando onde
não existe.
A derivada tem a forma
No intervalo aberto
o denominador
é positivo, logo o sinal de
é dado pelo numerador
.
Resolver
equivale a resolver
Pontos onde
não existe: o denominador é zero em
, mas esses pontos são exatamente os extremos do intervalo e já os consideraremos separadamente. Portanto os candidatos interiores são
e
. Além destes, incluímos as bordas
e
entre os candidatos.
Passo 5
Calcular os valores de
nesses pontos candidatos.
Usando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Anotação: também
, mas
não é ponto crítico (pois
); incluímos esse valor apenas como referência.
Passo 6
Classificar os extremos (local/absoluto) usando o sinal de
— análise de monotonicidade.
Temos
No interior
o denominador é positivo, então o sinal de
é o sinal de
.
- Se
então e . Logo é crescente em . - Se
(ou seja ) então e . Logo é decrescente nessas duas faixas.
Dessa análise de sinais:
- Em
o sinal de passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso caracteriza um mínimo local em . - Em
o sinal de passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza um máximo local em .
Agora verificar as bordas
e
(extremos do intervalo):
- Para
logo à direita de estamos em , onde . Assim, ao mover-se para a direita a partir de a função decresce, ou seja para próximo à direita. Como não há pontos à esquerda (fora do domínio), é um máximo local relativo ao domínio (mas não o máximo absoluto, pois ). - Para
logo à esquerda de estamos em , onde . Isso significa que aproximando-se de pela esquerda os valores de decrescem até ; portanto é menor que os valores à sua esquerda próximos, logo é um mínimo local (relativo ao domínio). Entretanto esse mínimo local em tem valor , que não é o mínimo absoluto (pois ).
Passo 7
Determinar os extremos absolutos comparando os valores já calculados.
Valores em candidatos:
O maior desses valores é
em
. O menor é
em
. Portanto:
- Máximo absoluto:
. - Mínimo absoluto:
.
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Máximo local (não absoluto): em
Mínimo local (não absoluto): em
Mínimo absoluto:
Máximo local (não absoluto):
Mínimo local (não absoluto):