(2,5 Pontos) Use o método dos autovalores para resolver o sistema o sistema de EDO’s homogêneo.
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=-x-y \\\ y^{\prime}=\frac{3 x}{4}-\frac{3 y}{2}+3 z \\\ z^{\prime}=\frac{x}{8}+\frac{y}{4}-\frac{z}{2} \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear homogêneo de três equações de primeira ordem e pede a solução usando o método dos autovalores. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
O que se pede: encontrar a solução geral \mathbf{x}(t)=(x(t),y(t),z(t))^T do sistema usando o método dos autovalores (autovalores = eigenvalues).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Coeficientes das equações formam uma matriz 3\times3.
É um sistema homogêneo (lado direito multiplicando vetores de funções lineares), portanto a solução geral será combinação linear de expoentes e^{\lambda t} vezes vetores próprios.]
Passo 2
Escrever o sistema em forma matricial \mathbf{x}'=A\mathbf{x}.
Explicação didática: a ideia do método dos autovalores é procurar soluções do tipo \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}\,e^{\lambda t}, onde \lambda é um número (autovalor) e \mathbf{v} é um vetor (autovetor). Substituindo nessa forma obtém-se o problema eigenvalue A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.]
Passo 3
Encontrar os autovalores \lambda resolvendo a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
Observação didática: obtivemos três autovalores reais e distintos \lambda_1=-1, \lambda_2=-\tfrac{3}{2}, \lambda_3=-\tfrac{1}{2}. Para autovalores reais distintos há três autovetores linearmente independentes e a solução geral será soma de três termos exponenciais.
Passo 5
Encontrar o autovetor associado a \lambda=-1.
Resolver (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. A matriz A+I é
Montar a solução geral usando os autovalores e autovetores obtidos.
Teorema (explicado): se \lambda é autovalor e \mathbf{v} é autovetor não nulo, então \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}\,e^{\lambda t} é solução de \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. Para autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, a soma linear das soluções é a solução geral.
Como os três autovalores são distintos, a solução geral é
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (determ. por condições iniciais se existirem) e \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são os autovetores encontrados.
Verificação rápida e comentários finais para a prova.
Verificação rápida (útil em prova): basta derivar cada termo C_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i para obter \lambda_i C_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i e conferir que A\mathbf{v}_i=\lambda_i\mathbf{v}_i (o que já foi garantido pelos cálculos dos autovetores). Assim a combinação também satisfaz o sistema.
Observação prática: ao calcular o polinômio característico, procure simplificações (aqui apareceu \lambda(\lambda+2) numa parte e foi possível fatorar (1+\lambda) rapidamente). Para autovetores, escolha uma componente para normalizar (como definir uma componente igual a 1 ou outro inteiro) para evitar frações desconfortáveis.