Quer-se a solução geral (x(t),y(t),z(t))^\top usando o método dos autovalores (isto é, achar autovalores, autovetores, e, se necessário, autovetores generalizados).]
Passo 2
Transformar o sistema em forma matricial e escrever o polinômio característico.
O sistema é X' = A X onde X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} e A é a matriz acima. Para achar autovalores calculamos o determinante de A-\lambda I:
Da primeira equação 5x=4y\] então \(x=\tfrac{4}{5}y. Da segunda x+2z=0 então z=-\tfrac{x}{2}=-\tfrac{2}{5}y. A terceira equação é automática (verifica-se que é satisfeita). Tomando y=5 (para evitar frações) obtemos
Observação importante: a multiplicidade algébrica de \lambda=5 é 2 mas a dimensão do espaço próprio (número de autovetores independentes) é 1. Logo a matriz é defeituosa e precisamos de um autovetor generalizado para formar a solução completa.]
Passo 7
Encontrar um autovetor generalizado [u) tal que (A-5I)u=v^{(2)}.
Da primeira (ou da terceira) obtemos q=\tfrac{1}{2}\]. Substituindo na segunda:
\[p-5\cdot\tfrac{1}{2}+2r=0 \quad\Rightarrow\quad p=\tfrac{5}{2}-2r.\]
Podemos escolher \(r arbitrário (há infinitas soluções porque podemos somar qualquer múltiplo de v^{(2)} a uma solução). Tomemos r=\tfrac{1}{2} (uma escolha simples que dá números racionais razoáveis). Então
que verifica (A-5I)u=v^{(2)}. (Qualquer outra escolha u+ \alpha v^{(2)} também serve.)]
Passo 8
Construir a solução geral usando autovalores simples e cadeia de Jordan para \lambda=5.
Explicação curta da teoria usada: quando \lambda tem multiplicidade 1 com autovetor v, a contribuição para a solução é e^{\lambda t}v. Quando \lambda tem multiplicidade algébrica 2 mas apenas um autovetor v, precisamos de um autovetor generalizado u com (A-\lambda I)u=v; então as duas soluções independentes associadas a esse bloco de Jordan são e^{\lambda t}v e e^{\lambda t}(t v+u).
Aplicando isso ao nosso caso:
Para \lambda=0 temos a solução estacionária C_1 v^{(1)}.
Para \lambda=5 com autovetor v^{(2)} e autovetor generalizado u, as soluções são e^{5t}v^{(2)} e e^{5t}(t v^{(2)}+u).
Passo 9
Escrever a solução geral combinando todas as contribuições.
Com as constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}, a solução geral é