Seja pi o plano que passa pela origem é é perpendicular à reta que une os pontos A=(1,0,0) e B= (0,1,0). Encontre a distância do ponto C=(1,0,1) ao plano pi.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto C=(1,0,1) a um plano pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que une A=(1,0,0) e B=(0,1,0). Vamos usar o fato de que, se um plano é perpendicular a uma reta, então o vetor diretor dessa reta é um vetor normal ao plano, e em seguida aplicar a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

O vetor diretor da reta AB é
AB = B - A = (0,1,0) - (1,0,0) = (-1,1,0)
Logo, podemos escolher o vetor normal ao plano como n=(-1,1,0). Como pi contém a origem, sua equação canônica é
ncdot(x,y,z)=0 Longrightarrow -,x + y + 0cdot z = 0

Passo 3

A distância de um ponto C à reta pi é dada por
dist(C,pi) = l|ncdot C + dr||n|,
onde d=0 pois o plano passa pela origem. Calculamos
ncdot C = (-1,1,0)cdot(1,0,1) = -1+0+0 = -1,
e
|n| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
Portanto,
dist(C,pi) = l|-1r|raiz2 = 1raiz2

Resposta

1raiz2

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