( 5 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
, com
, sendo
a normal que apontando para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Stokes. As informações fornecidas são:
- A campo vetorial é
. - A superfície está parametrizada por
, com domínio (o disco unitário no plano ). - A normal pedida é a que aponta para baixo (ou seja, na direção negativa do eixo
).
O que exatamente se pede: calcular(integral de superfície do rotacional projetado na normal apontando para baixo), usando Stokes.
Passo 2
Lembrete do Teorema de Stokes (explicação didática curta):
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada com bordo
,
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada
onde a orientação do contorno
é a orientação positiva determinada pela regra da mão direita em relação à normal
. Isso nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de linha ao longo da fronteira. Aqui a normal aponta para baixo; então a orientação positiva do contorno é no sentido horário quando visto de cima (do lado
).
Passo 3
Calcular o rotacional de
(apenas para entender o que estamos integrando; vamos usar Stokes transformando em integral de linha):
O rotacional é
Substituindo
obtemos
Portanto
. (Só para conferir: esse rotacional é constante e aponta para baixo.)
Passo 4
Parametrizar o bordo
. O bordo corresponde a
, e na superfície
. Então
é o círculo de raio
em
. Como a normal pedida aponta para baixo, a orientação positiva do contorno é horário visto de cima. Uma parametrização conveniente e horário é
Verificação rápida: para
aumentando a projeção no plano
descreve o sentido horário. Derivada:
Passo 5
Avaliar
ao longo da curva e montar
. Ao longo de
temos
, logo
Então
Passo 6
Agora aplicar Stokes e integrar no intervalo
:
Calcular a integral usando a identidade
:
Passo 7
(Essa etapa é só uma checagem rápida alternativa — não necessária — mostrando consistência com a forma de superfície.)
Se alguém preferir integrar diretamente : para a parametrização
tem-se
Se alguém preferir integrar diretamente
que aponta para cima; como queremos normal apontando para baixo usamos o elemento orientado
. Então
e integrando
sobre o disco unitário dá área
. Resultado consistente.