( 5 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{\sigma} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, para \vec{F}(x \cdot y \cdot z)=y \vec{i}, e \sigma(u, v)=\left(u, v, u^{2}+v^{2}\right), com u^{2}+v^{2} \leq 1, sendo \vec{n} a normal que apontando para baixo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \iint_{\sigma} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS usando o Teorema de Stokes. As informações fornecidas são:
  • A campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}.
  • A superfície está parametrizada por \displaystyle \sigma(u,v)=\bigl(u,v,u^{2}+v^{2}\bigr), com domínio \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\} (o disco unitário no plano (u,v)).
  • A normal pedida é a que aponta para baixo (ou seja, na direção negativa do eixo z).
    O que exatamente se pede: calcular \displaystyle \iint_{\sigma}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS (integral de superfície do rotacional projetado na normal apontando para baixo), usando Stokes.

Passo 2

Lembrete do Teorema de Stokes (explicação didática curta):
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada \sigma com bordo \partial\sigma,
\iint_{\sigma} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial\sigma} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde a orientação do contorno \partial\sigma é a orientação positiva determinada pela regra da mão direita em relação à normal \vec{n}. Isso nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de linha ao longo da fronteira. Aqui a normal aponta para baixo; então a orientação positiva do contorno é no sentido horário quando visto de cima (do lado +z).

Passo 3

Calcular o rotacional de \vec{F} (apenas para entender o que estamos integrando; vamos usar Stokes transformando em integral de linha):
\vec{F}=(y,0,0).
O rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\;\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\;\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr).
Substituindo F_x=y,\;F_y=0,\;F_z=0 obtemos
\nabla\times\vec{F}=(0-0,\;0-0,\;0-\tfrac{\partial}{\partial y}(y))=(0,0,-1).
Portanto \nabla\times\vec{F}=(0,0,-1). (Só para conferir: esse rotacional é constante e aponta para baixo.)

Passo 4

Parametrizar o bordo \partial\sigma. O bordo corresponde a u^{2}+v^{2}=1, e na superfície z=u^{2}+v^{2}=1. Então \partial\sigma é o círculo de raio 1 em z=1. Como a normal pedida aponta para baixo, a orientação positiva do contorno é horário visto de cima. Uma parametrização conveniente e horário é
\vec{r}(t)=\bigl(\cos t,\; -\sin t,\;1\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Verificação rápida: para t aumentando a projeção no plano xy descreve o sentido horário. Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-\sin t,\; -\cos t,\;0\bigr).

Passo 5

Avaliar \vec{F} ao longo da curva e montar \vec{F}\cdot d\vec{r}. Ao longo de \vec{r}(t) temos y=-\sin t, logo
\vec{F}(\vec{r}(t)) = \bigl(y,0,0\bigr) = \bigl(-\sin t,\;0,\;0\bigr).
Então
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = (-\sin t)\cdot(-\sin t) + 0\cdot(-\cos t) + 0\cdot 0 = \sin^{2}t.

Passo 6

Agora aplicar Stokes e integrar no intervalo 0\le t\le 2\pi:
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{r} \;=\; \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}t\,dt.
Calcular a integral usando a identidade \sin^{2}t=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2t):
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt = \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}(1-\cos 2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\Bigl[t - \tfrac{1}{2}\sin 2t\Bigr]_{0}^{2\pi} = \tfrac{1}{2}\bigl(2\pi - 0\bigr) = \pi.

Passo 7

(Essa etapa é só uma checagem rápida alternativa — não necessária — mostrando consistência com a forma de superfície.)
Se alguém preferir integrar diretamente (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS: para a parametrização \sigma(u,v) tem-se
\sigma_u\times\sigma_v = (-2u,-2v,1),
que aponta para cima; como queremos normal apontando para baixo usamos o elemento orientado -(\sigma_u\times\sigma_v)\,du\,dv. Então
(\nabla\times\vec{F})\cdot\bigl(-(\sigma_u\times\sigma_v)\bigr) = (0,0,-1)\cdot(-(-2u),-(-2v),-1) = 1,
e integrando 1 sobre o disco unitário dá área \pi. Resultado consistente.

Resposta

\pi

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