(2.5 pontos) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\left(z+2 y+e^{x^{2}}\right) d x+\left(x-z+\ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y+\operatorname{sen}(2 z) d z
onde \Gamma(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), \cos (2 t)), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\bigl(z+2y+e^{x^{2}}\bigr)\,dx+\bigl(x-z+\ln(1+y^{2})\bigr)\,dy+\sin(2z)\,dz
ao longo da curva \Gamma(t)=(\cos t,\sin t,\cos2t), 0\le t\le2\pi. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS,
onde \mathbf F=(P,Q,R). Precisamos então encontrar \nabla\times\mathbf F e escolher uma superfície S cujo contorno seja \Gamma.

Passo 2

Calculemos o rotacional de \mathbf F. Temos
P=z+2y+e^{x^{2}},\quad Q=x-z+\ln(1+y^{2}),\quad R=\sin(2z).
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\nabla\times\mathbf F =\Bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\Bigr) =(0-(-1),\;1-0,\;1-2) =(1,1,-1).

Passo 3

Observamos que \Gamma é a interseção da cilindro x^{2}+y^{2}=1 com a superfície z=\cos2t=x^{2}-y^{2}. Então podemos tomar
S:\;z=f(x,y)=x^{2}-y^{2},
sobre o disco D:\,x^{2}+y^{2}\le1. Orientamos S com a normal para cima, de modo que sua fronteira projetada no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário (como em \Gamma). A forma vetorial da área é
\mathbf n\,dS=(-f_x,\,-f_y,\,1)\,dA =(-2x,\;2y,\;1)\,dA.

Passo 4

Aplicamos Stokes:
\oint_{\Gamma}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_{D}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dA =\iint_{D}(1,1,-1)\cdot(-2x,2y,1)\,dA.
O produto escalar é
-2x+2y-1,
então
\iint_{D}(-2x+2y-1)\,dA =\underbrace{\iint_{D}-2x\,dA}_{0} +\underbrace{\iint_{D}2y\,dA}_{0} +\iint_{D}(-1)\,dA =-1\cdot\mathrm{Area}(D) =-\pi.

Resposta

-\pi

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