(2.5 pontos) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
,
. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde
. Precisamos então encontrar
e escolher uma superfície
cujo contorno seja
.
Passo 2
Calculemos o rotacional de
. Temos
Logo
Passo 3
Observamos que
é a interseção da cilindro
com a superfície
. Então podemos tomar
sobre o disco
. Orientamos
com a normal para cima, de modo que sua fronteira projetada no plano
seja percorrida no sentido anti-horário (como em
). A forma vetorial da área é
Passo 4
Aplicamos Stokes:
O produto escalar é
então