(2.5 pontos) Seja \vec{F}(x, y, z)=x \vec{k} e considere a superfície S com parametrização \sigma(x, y)= \left(x, y, x^{2}+y^{2}\right), com x^{2}+y^{2} \leq 1. Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral \iint_{S} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n} d S, sendo \vec{n} a normal apontando para cima, em uma integral de linha e calcule tal integral de linha.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{k}
e a superfície S parametrizada por
\sigma(x,y) = (\,x,\,y,\,x^2+y^2),\quad x^2+y^2\le1,
com a normal escolhida para cima. Pede-se usar o Teorema de Stokes para converter
\iint_{S} \bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)\cdot\vec{n}\,dS
numa integral de linha ao longo da fronteira \partial S e depois calcular essa integral de linha.

Passo 2

Calculemos o rotacional de \vec{F} pela definição
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ 0&0&x \end{vmatrix} =(0,\,-1,\,0).

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes temos
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
A curva \partial S é o círculo x^2+y^2=1 em z=1, orientado positivamente (anti-horário visto de cima).

Passo 4

Parametrizamos \partial S por
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;1),\quad t\in[0,2\pi],
com
\displaystyle \vec{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;0).
No ponto \vec{r}(t),
\vec{F}=(0,0,x)=(0,0,\cos t).
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) =0\cdot(-\sin t)+0\cdot\cos t+\cos t\cdot0 =0.

Passo 5

Portanto
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}0\,dt =0.

Resposta

\displaystyle 0

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