(2.5 pontos) Seja
. Calcule
, onde
é a superfície determinada por
(o hemisfério superior da esfera).
Passo 1
O enunciado pede a fluxointegral
onde
é o hemisfério superior da esfera
.
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência: para uma região fechada com fronteira
,
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência: para uma região
Como
não é fechado, vamos fechar com o disco
no plano
e depois subtrair o fluxo em
.
Passo 2
Calculamos a divergência de
Temos
Passo 3
Seja
o volume do hemisfério superior. Pelo Teorema da Divergência,
Em coordenadas esféricas
com
,
,
,
Passo 4
Agora o fluxo sobre a superfície fechada
é
No disco
, o vetor normal externo ao volume é
.
Em ,
. Logo
Em
Passo 5
Isolando a fluxointegral em
: