(2.5 pontos) Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y \operatorname{sen} z\right) \vec{i}+\left(y^{3}+z \operatorname{sen} x\right) \vec{j}+\left(z^{3}+1\right) \vec{k}. Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde S é a superfície determinada por z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} (o hemisfério superior da esfera).

Passo 1

O enunciado pede a fluxointegral
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
onde S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=1.
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência: para uma região V fechada com fronteira \partial V,
\iint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot\vec F\,dV.
Como S não é fechado, vamos fechar com o disco D no plano z=0 e depois subtrair o fluxo em D.

Passo 2

Calculamos a divergência de
\vec F(x,y,z)=\bigl(x^3+y\sin z\bigr)\,\vec i+\bigl(y^3+z\sin x\bigr)\,\vec j+\bigl(z^3+1\bigr)\,\vec k.
Temos
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x^3+y\sin z) +\frac{\partial}{\partial y}(y^3+z\sin x) +\frac{\partial}{\partial z}(z^3+1) =3x^2+3y^2+3z^2 =3\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr).

Passo 3

Seja V o volume do hemisfério superior. Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}3(x^2+y^2+z^2)\,dV.
Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, 0\le\varphi\le\pi/2,
\iiint_{V}3r^2\;r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{1}3r^4\,dr =(2\pi)\bigl[1\bigr]\bigl[\tfrac{3}{5}\bigr] =\frac{6\pi}{5}.

Passo 4

Agora o fluxo sobre a superfície fechada S\cup D é
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS +\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{6\pi}{5}.
No disco D\colon z=0, o vetor normal externo ao volume é \vec n=-\vec k.
Em z=0, F_z=z^3+1=1. Logo
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}(1)\,(-1)\,dA =-\iint_{D}1\,dA =-\pi\quad(\text{área do disco unitário}).áá

Passo 5

Isolando a fluxointegral em S:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{6\pi}{5}-\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{6\pi}{5}-\bigl(-\pi\bigr) =\frac{6\pi}{5}+\pi =\frac{11\pi}{5}.

Resposta

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = \frac{11\pi}{5}.

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