(2.5 pontos) Seja
a curva de equação
percorrida uma vez no sentido anti-horário. Faça um esboço da curva
e calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado define a curva
como o círculo de equação
percorrido uma vez no sentido anti-horário, e pede a integral de linha
O conteúdo envolvido é o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha num integral de área, desde que o campo seja
na região interior a
.
Passo 2
Esboço da curva: é um círculo de centro
e raio
, orientado anti-horário. Assim, o domínio
é o disco
.
Passo 3
Verificamos a continuidade de
e
. A única singularidade ocorre quando
, isto é em
. Como a distância de
até
é
, o ponto
fica fora de
. Logo,
e
são
em uma vizinhança de
, e podemos aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais, com
:
Subtraindo,
Passo 6
Logo