(2.5 pontos) Seja \gamma a curva de equação
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1
percorrida uma vez no sentido anti-horário. Faça um esboço da curva \gamma e calcule a integral de linha
\int_{\gamma}\left(\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}-4 y+\operatorname{sen}(x)\right) d x+\left(-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}+2 x+\operatorname{sen}(y)\right) d y

Passo 1

O enunciado define a curva \gamma como o círculo de equação
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1
percorrido uma vez no sentido anti-horário, e pede a integral de linha
\int_{\gamma}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}-4y+\operatorname{sen}(x)\Bigr)\,dx +\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}+2x+\operatorname{sen}(y)\Bigr)\,dy.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha num integral de área, desde que o campo seja C^{1} na região interior a \gamma.

Passo 2

Esboço da curva: é um círculo de centro (2,-1) e raio 1, orientado anti-horário. Assim, o domínio D é o disco \{(x,y)\mid (x-2)^{2}+(y+1)^{2}\le1\}.

Passo 3

Verificamos a continuidade de P(x,y)=\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}-4y+\operatorname{sen}(x) e Q(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}+2x+\operatorname{sen}(y). A única singularidade ocorre quando x^{2}+4y^{2}=0, isto é em (0,0). Como a distância de (2,-1) até (0,0) é \sqrt{5}>1, o ponto (0,0) fica fora de D. Logo, P e Q são C^{1} em uma vizinhança de D, e podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais, com D=x^{2}+4y^{2}:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{D}+2x+\operatorname{sen}(y)\Bigr) =\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}+2,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{D}-4y+\operatorname{sen}(x)\Bigr) =\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}-4.
Subtraindo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\Bigl(\frac{x^{2}-4y^{2}}{D^{2}}+2\Bigr) -\Bigl(\frac{x^{2}-4y^{2}}{D^{2}}-4\Bigr) =6.

Passo 6

Logo
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}6\,dA =6\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr) =6\cdot\pi\cdot1^{2} =6\pi.á

Resposta

6\pi

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