Resolva os PVIs com equações separáneis
ld yd x=(1+y^2) tan x y(0)=raiz3

Passo 1

A gente tem um problema de valor inicial (PVI) dado por dydx=(1+y^2)tan x com y(0)=raiz3. O conteúdo envolvido é equação diferencial separável, e vamos precisar: separar variáveis, integrar cada lado e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Começando a separação de variáveis, escrevemos
dy1+y^2=tan x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado, usamos integral dy1+y^2=arctan y. Do outro, integral tan x,dx=integral sin xcos x,dx=-ln|cos x|+C. Assim obtemos:
arctan y=-ln|cos x|+C

Passo 4

Para determinar C, aplicamos y(0)=raiz3. Temos arctan(raiz3)=pi/3 e -ln|cos0|+C=0+C=C, logo C=pi/3.
Substituindo de volta,
arctan y=-ln|cos x|+pi3

Passo 5

e isolando y:
y=tanl(pi3-ln|cos x|r)

Resposta

y(x)=tanl(tfracpi3-ln|cos x|r)

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