(2 pontos) Determine a solução geral da equação de Euler:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da equação de Euler–Cauchy
Esse tipo de EDO admite uma solução da forma potência, e vamos usar teoria de equações de Cauchy–Euler.
Passo 2
Proponho a solução do tipo
Então as derivadas são
Isso nos permite montar a equação indicial.
Passo 3
Substituindo na EDO original temos
ou seja
Passo 4
Simplificando o fator comum
(que não pode ser zero), chega-se à equação indicial
Passo 5
Desenvolvendo e organizando, obtemos
que é um quadrático com discriminante zero, logo raiz dupla
Passo 6
Resolvendo
dá
(duas vezes). Pela teoria de equações de Cauchy–Euler, para raiz dupla
a solução geral é da forma