(2 pontos) Determine a solução geral da equação de Euler:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y''-3xy'+4y=0
Esse tipo de EDO admite uma solução da forma potência, e vamos usar teoria de equações de Cauchy–Euler.

Passo 2

Proponho a solução do tipo
y=x^r
Então as derivadas são
y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Isso nos permite montar a equação indicial.

Passo 3

Substituindo na EDO original temos
x^2igl(r(r-1)x^r-2r)-3xl(r x^r-1r)+4x^r=0 
ou seja

Passo 4

Simplificando o fator comum x^r (que não pode ser zero), chega-se à equação indicial
r(r-1)-3r+4=0

Passo 5

Desenvolvendo e organizando, obtemos
r^2-4r+4=0
que é um quadrático com discriminante zero, logo raiz dupla

Passo 6

Resolvendo r^2-4r+4=0 r=2 (duas vezes). Pela teoria de equações de Cauchy–Euler, para raiz dupla r1=r2=2 a solução geral é da forma
y=C1x^2+C2x^2ln(x)

Resposta

y(x)=C1x^2+C2x^2ln(x)

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