(2,5 pontos) Use Variação dos Parâmetros para resolver o sistema o sistema de EDO’s não homogêneo.
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=-x+\operatorname{sec} t \operatorname{tg} t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações diferenciais não homogêneo e pede a sua solução (usar Variação dos Parâmetros):
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y,\\[4pt] y^{\prime}=-x+\operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As funções desconhecidas são x(t) e y(t).
  • O termo não homogêneo aparece em y' e é \operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t.
  • A solução pedida é a solução geral do sistema (ou seja, ambas as funções x(t) e y(t) com constantes arbitrárias).
    Observação útil (sem resolver ainda): podemos reduzir este sistema a uma única equação de ordem 2 para x(t) usando x' = y e substituindo em y'.]

Passo 2

Transformar o sistema numa única equação de segunda ordem para x. Como x'=y, diferenciando ambos os lados obtemos x''=y'. Substituindo y' da segunda equação,
x'' = -x + \operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t.
Reorganizando,
x'' + x = \operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t.
Comentário didático: reduzir um sistema de primeira ordem para uma EDO de ordem superior é uma técnica padrão quando há uma relação simples entre as variáveis (aqui y é a derivada de x). Agora vamos resolver esta EDO linear não homogênea de segunda ordem.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
x'' + x = 0.
Esta é uma equação linear com coeficientes constantes; sua equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r=\pm i. Portanto as soluções fundamentais reais são
x_1(t)=\cos t,\qquad x_2(t)=\sin t.
Assim a solução geral da homogênea é
x_h(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
Didática sobre Wronskiano: para uso de Variação dos Parâmetros precisamos do Wronskiano de \{\cos t,\sin t\}. Calcula-se
W(t)=\begin{vmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt]-\sin t & \cos t\end{vmatrix}=\cos^2 t+\sin^2 t=1,
ou seja, as soluções são linearmente independentes e W\neq0.]

Passo 4

Aplicar Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular x_p(t). A ideia é procurar
x_p(t)=u_1(t)\cos t + u_2(t)\sin t,
onde u_1 e u_2 são funções a determinar. Para simplificar as equações impõe-se a condição padrão
u_1'(t)\cos t + u_2'(t)\sin t = 0,
de modo que, ao derivar x_p, obtemos uma expressão simples para x_p'. A outra equação vem de exigir que x_p satisfaça a EDO não homogênea; isso leva a
-u_1'(t)\sin t + u_2'(t)\cos t = g(t),
onde aqui g(t)=\operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t é o lado direito da EDO. Em forma matricial, com Wronskiano W=1, as fórmulas padrão dão
u_1'(t) = -g(t)\sin t,\qquad u_2'(t)=g(t)\cos t.
Explicando: essas fórmulas vêm da resolução do sistema linear 2×2 para u_1' e u_2' com coeficientes formados pelas soluções fundamentais e suas derivadas; com W=1 as expressões ficam especialmente simples.

Passo 5

Calcular u_1' e u_2' explicitamente usando g(t)=\operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t:
u_1'(t) = -\operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t\;\sin t, \qquad u_2'(t) = \operatorname{sec} t\;\operatorname{tg}t\;\cos t.
Simplificar cada um usando \operatorname{tg}t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}:
  • Para u_1':
u_1'(t) = -\frac{1}{\cos t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\sin t = -\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = -\tan^2 t.
  • Para u_2':
u_2'(t) = \frac{1}{\cos t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\cos t = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t.

Passo 6

Integrar para obter u_1 e u_2 (podemos escolher constantes de integração zero, pois essas constantes seriam absorvidas na solução homogênea):
  • Para u_1,
u_1(t)=\int -\tan^2 t\;dt = -\int (\operatorname{sec}^2 t - 1)\,dt = -\tan t + t.
Expliquei o passo: usei \tan^2 t = \operatorname{sec}^2 t - 1 e \dfrac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^2 t.
  • Para u_2,
u_2(t)=\int \tan t\;dt = -\ln|\cos t|.
Lembrando: \int \tan t\,dt = -\ln|\cos t| + \text{constante}.

Passo 7

Construir x_p a partir de u_1 e u_2:
x_p(t)=u_1(t)\cos t + u_2(t)\sin t.
Substituindo u_1=-\tan t + t e u_2=-\ln|\cos t|,
x_p(t)=(-\tan t + t)\cos t + \big(-\ln|\cos t|\big)\sin t.
Simplificar termo a termo: (-\tan t)\cos t = -\sin t. Assim
x_p(t)=t\cos t - \sin t - \sin t\ln|\cos t|.
Ou, agrupando,
x_p(t)=t\cos t - \sin t\bigl(1+\ln|\cos t|\bigr).
Comentário: esta é uma solução particular válida em intervalos onde \cos t\neq0 (pois apareceu \ln|\cos t|). Na prática a solução geral será válida em cada intervalo livre de singularidades de \operatorname{sec} t.

Passo 8

Obter a solução geral x(t) combinando homogênea e particular:
x(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t + t\cos t - \sin t\bigl(1+\ln|\cos t|\bigr).
Agora precisamos de y(t)=x'(t) (pois no sistema x'=y). Em Variação dos Parâmetros usamos a condição u_1'\cos+u_2'\sin=0, que simplifica o cálculo de x_p'. Em geral
x_p'(t) = -u_1(t)\sin t + u_2(t)\cos t.
Substituindo u_1 e u_2,
x_p'(t)= -\bigl(-\tan t + t\bigr)\sin t + \bigl(-\ln|\cos t|\bigr)\cos t.
Simplificar:
x_p'(t)= (\tan t)\sin t - t\sin t - \cos t\ln|\cos t|.
E (\tan t)\sin t = \dfrac{\sin^2 t}{\cos t} = \operatorname{sec} t - \cos t (porque \sin^2 t = 1-\cos^2 t). Assim
x_p'(t)=\operatorname{sec} t - \cos t - t\sin t - \cos t\ln|\cos t|.
Portanto a solução geral para y(t)=x'(t) é
y(t) = -C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + \operatorname{sec} t - t\sin t - \cos t\bigl(1+\ln|\cos t|\bigr).

Resposta

x(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t + t\cos t - \sin t\bigl(1+\ln|\cos t|\bigr)
y(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + \operatorname{sec} t - t\sin t - \cos t\bigl(1+\ln|\cos t|\bigr)

Exercícios relacionados