( 2,5 pontos) Utilizando a notação de componentes mostre que:
\begin{aligned} & \vec{\nabla}[\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{r})]=\vec{A} \times \vec{B} \\\ & \vec{\nabla} \times[\vec{v} \times(\vec{\nabla} \times \vec{v})]=0 \end{aligned}
onde \vec{A} e \vec{B} são vetores constantes e \vec{v}=v\left(x_{2}, x_{3}\right) \hat{i}_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas identidades vetoriais usando notação por componentes. Especificamente:
\text{(i)}\quad \vec{\nabla}\big[\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{r})\big]=\vec{A}\times\vec{B},
\text{(ii)}\quad \vec{\nabla}\times\big[\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big]=0,
com as seguintes informações dadas:
  • \vec{A} e \vec{B} são vetores constantes (não dependem de x_{1},x_{2},x_{3});
  • \vec{r} é o vetor posição, cujas componentes são \;r_{k}=x_{k}\; para k=1,2,3;
  • \vec{v}=v(x_{2},x_{3})\,\hat{i}_{1}, isto é, somente a componente v_{1} é não nula e depende apenas de x_{2} e x_{3}.
Tudo certo — agora vamos à resolução, devagar e passo a passo.

Passo 2

Lembretes e notação que vamos usar (bem mastigado):
  • Notação por componentes: usaremos índices i,j,k,\dots que variam em 1,2,3.
  • Produto vetorial em componentes com o símbolo de Levi-Civita:
(\vec{X}\times\vec{Y})_{i}=\varepsilon_{ijk}X_{j}Y_{k},
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo totalmente antissimétrico (Levi-Civita).
  • Produto escalar por componentes:
\vec{U}\cdot\vec{W}=U_{i}W_{i}\quad\text{(soma sobre índices repetidos).}í
  • Operador gradiente por componentes:
(\vec{\nabla} f)_{m}=\frac{\partial f}{\partial x_{m}}.
  • Derivada do vetor posição: \dfrac{\partial r_{k}}{\partial x_{m}}=\dfrac{\partial x_{k}}{\partial x_{m}}=\delta_{km}, onde \delta_{km} é o delta de Kronecker ( \delta_{km}=1 se k=m, senão 0).

Passo 3

Prova da primeira igualdade: escrever a expressão escalar cujo gradiente queremos.
Defina a função escalar
\varphi(\vec{r})=\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{r}).
Em componentes, usando a fórmula do produto vetorial,
\varphi = A_{i}\,(\vec{B}\times\vec{r})_{i}=A_{i}\,\varepsilon_{ijk}B_{j}r_{k}.
Aqui A_{i} e B_{j} são constantes (dado do enunciado) e r_{k}=x_{k}.

Passo 4

Calcular o componente m-ésimo do gradiente de \varphi:
(\vec{\nabla}\varphi)_{m}=\frac{\partial \varphi}{\partial x_{m}}=\frac{\partial}{\partial x_{m}}\big(A_{i}\varepsilon_{ijk}B_{j}r_{k}\big).
Como A_{i}, \varepsilon_{ijk} e B_{j} são constantes, podem sair da derivada:
(\vec{\nabla}\varphi)_{m}=A_{i}\varepsilon_{ijk}B_{j}\,\frac{\partial r_{k}}{\partial x_{m}}.
Usando \dfrac{\partial r_{k}}{\partial x_{m}}=\delta_{km} obtemos
(\vec{\nabla}\varphi)_{m}=A_{i}\varepsilon_{ijk}B_{j}\,\delta_{km}=A_{i}\varepsilon_{ijm}B_{j}.

Passo 5

Interpretar a expressão obtida e reconhecê-la como componente de um produto vetorial.
A componente m-ésima do vetor \vec{A}\times\vec{B} é
(\vec{A}\times\vec{B})_{m}=\varepsilon_{m p q}A_{p}B_{q}.
Usando a propriedade de permutação do símbolo de Levi-Civita (relabeling dos índices), temos
A_{i}\varepsilon_{ijm}B_{j}=\varepsilon_{m i j}A_{i}B_{j}=(\vec{A}\times\vec{B})_{m}.
Portanto cada componente do gradiente coincide com a componente correspondente de \vec{A}\times\vec{B}.

Passo 6

Conclusão da primeira parte:
\vec{\nabla}\big[\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{r})\big]=\vec{A}\times\vec{B}.
Interpretando: a função escalar \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{r}) é um produto linear em \vec{r} cuja gradiente é simplesmente o vetor constante \vec{A}\times\vec{B}. Legal e direto quando se usa componentes.

Passo 7

Agora a segunda identidade. Primeiro calculemos \vec{\nabla}\times\vec{v} para a dada \vec{v}.
Temos \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) com:
v_{1}=v(x_{2},x_{3}),\qquad v_{2}=0,\qquad v_{3}=0.
Usando a fórmula por componentes do rotor:
(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{i}=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}.
Como somente v_{1} é não nulo, a soma sobre k reduz-se a k=1:
(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{i}=\varepsilon_{ij1}\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{j}}.

Passo 8

Avaliar explicitamente cada componente do rotor:
  • Para i=1:
(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{1}=\varepsilon_{1j1}\partial_{j}v_{1}=0\quad(\varepsilon\\ \text{com índices repetidos é }0).íé
  • Para i=2:
(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{2}=\varepsilon_{2j1}\partial_{j}v_{1}=\varepsilon_{2 3 1}\partial_{3}v_{1}=\partial_{3}v_{1},
porque \partial_{1}v_{1}=0 ( v_{1} não depende de x_{1} ) e \varepsilon_{2 3 1}=+1.
  • Para i=3:
(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{3}=\varepsilon_{3j1}\partial_{j}v_{1}=\varepsilon_{3 2 1}\partial_{2}v_{1}=-\partial_{2}v_{1},
pois \varepsilon_{3 2 1}=-1.
Logo
\vec{\nabla}\times\vec{v}=(0,\;\partial_{3}v_{1},\;-\partial_{2}v_{1}).

Passo 9

Calcular \vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v}). Em componentes:
\big(\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big)_{i}=\varepsilon_{i j k}v_{j}(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{k}.
Mas v_{j} é não nulo apenas para j=1, então:
\big(\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big)_{i}=\varepsilon_{i1k}v_{1}(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{k}.
Avaliar componentes:
  • Para i=1: \varepsilon_{1 1 k}=0 para todo k então componente 1 é 0.
  • Para i=2:
\big(\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big)_{2}=\varepsilon_{2 1 3}v_{1}(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{3} = -v_{1}(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{3}.
Substituindo (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{3}=-\partial_{2}v_{1} obtemos
\text{componente }2 = -v_{1}(-\partial_{2}v_{1})=v_{1}\partial_{2}v_{1}.
  • Para i=3:
\big(\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big)_{3}=\varepsilon_{3 1 2}v_{1}(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{2}=v_{1}(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{2}.
Substituindo (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{2}=\partial_{3}v_{1} obtemos
\text{componente }3 = v_{1}\partial_{3}v_{1}.
Logo
\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})=\big(0,\;v_{1}\partial_{2}v_{1},\;v_{1}\partial_{3}v_{1}\big).

Passo 10

Agora calculamos o rotor desse resultado:
\vec{\nabla}\times\big[\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big].
Denotando \vec{u}=\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v}) com \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) onde
u_{1}=0,\qquad u_{2}=v_{1}\partial_{2}v_{1},\qquad u_{3}=v_{1}\partial_{3}v_{1},
temos, por definição,
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{1}=\partial_{2}u_{3}-\partial_{3}u_{2}.

Passo 11

Calcular (\vec{\nabla}\times\vec{u})_{1} explicitamente usando a regra do produto:
\partial_{2}u_{3}=\partial_{2}\big(v_{1}\partial_{3}v_{1}\big)=(\partial_{2}v_{1})(\partial_{3}v_{1})+v_{1}\partial_{2}\partial_{3}v_{1},
\partial_{3}u_{2}=\partial_{3}\big(v_{1}\partial_{2}v_{1}\big)=(\partial_{3}v_{1})(\partial_{2}v_{1})+v_{1}\partial_{3}\partial_{2}v_{1}.
Subtraindo,
\partial_{2}u_{3}-\partial_{3}u_{2}=v_{1}\big(\partial_{2}\partial_{3}v_{1}-\partial_{3}\partial_{2}v_{1}\big)=0,
pois as derivadas parciais mistas são iguais (assumimos v_{1} suficientemente suave). Assim (\vec{\nabla}\times\vec{u})_{1}=0.

Passo 12

Calcular as outras componentes do rotor:
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{2}=\partial_{3}u_{1}-\partial_{1}u_{3}.
Mas u_{1}=0 e u_{3}=v_{1}\partial_{3}v_{1} não depende de x_{1}, então \partial_{3}u_{1}=0 e \partial_{1}u_{3}=0. Logo (\vec{\nabla}\times\vec{u})_{2}=0.
De forma análoga,
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{3}=\partial_{1}u_{2}-\partial_{2}u_{1}=0-0=0,
pois u_{2} não depende de x_{1} e u_{1}=0.

Passo 13

Conclusão da segunda parte: todas as componentes do rotor são zero, então
\vec{\nabla}\times\big[\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})\big]=\vec{0}.
Intuição rápida: a expressão gerou termos que se cancelam quando derivamos (produtos com derivadas mistas), e as dependências apenas em x_{2},x_{3} eliminaram derivadas em x_{1}, tornando tudo bem simples.

Resposta

\vec{\nabla}[\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{r})]=\vec{A} \times \vec{B}\n
\vec{\nabla} \times[\vec{v} \times(\vec{\nabla} \times \vec{v})]=\vec{0}

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