( 2,5 pontos) Utilizando a notação de componentes mostre que:
onde
e
são vetores constantes e
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas identidades vetoriais usando notação por componentes. Especificamente:
com as seguintes informações dadas:
-
e são vetores constantes (não dependem de ); -
é o vetor posição, cujas componentes são para ; -
, isto é, somente a componente é não nula e depende apenas de e .
Tudo certo — agora vamos à resolução, devagar e passo a passo.
Passo 2
Lembretes e notação que vamos usar (bem mastigado):
- Notação por componentes: usaremos índices
que variam em . - Produto vetorial em componentes com o símbolo de Levi-Civita:
onde
é o símbolo totalmente antissimétrico (Levi-Civita).
- Produto escalar por componentes:
- Operador gradiente por componentes:
- Derivada do vetor posição:
, onde é o delta de Kronecker ( se , senão ).
Passo 3
Prova da primeira igualdade: escrever a expressão escalar cujo gradiente queremos.
Defina a função escalar
Defina a função escalar
Em componentes, usando a fórmula do produto vetorial,
Aqui
e
são constantes (dado do enunciado) e
.
Passo 4
Calcular o componente
-ésimo do gradiente de
:
Como
,
e
são constantes, podem sair da derivada:
Usando
obtemos
Passo 5
Interpretar a expressão obtida e reconhecê-la como componente de um produto vetorial.
A componente -ésima do vetor
é
A componente
Usando a propriedade de permutação do símbolo de Levi-Civita (relabeling dos índices), temos
Portanto cada componente do gradiente coincide com a componente correspondente de
.
Passo 6
Conclusão da primeira parte:
Interpretando: a função escalar
é um produto linear em
cuja gradiente é simplesmente o vetor constante
. Legal e direto quando se usa componentes.
Passo 7
Agora a segunda identidade. Primeiro calculemos
para a dada
.
Temos com:
Temos
Usando a fórmula por componentes do rotor:
Como somente
é não nulo, a soma sobre
reduz-se a
:
Passo 8
Avaliar explicitamente cada componente do rotor:
- Para
:
- Para
:
porque
(
não depende de
) e
.
- Para
:
pois
.
Logo
Passo 9
Calcular
. Em componentes:
Mas
é não nulo apenas para
, então:
Avaliar componentes:
- Para
: para todo então componente é . - Para
:
Substituindo
obtemos
- Para
:
Substituindo
obtemos
Logo
Passo 10
Agora calculamos o rotor desse resultado:
Denotando
com
onde
temos, por definição,
Passo 11
Calcular
explicitamente usando a regra do produto:
Subtraindo,
pois as derivadas parciais mistas são iguais (assumimos
suficientemente suave). Assim
.
Passo 12
Calcular as outras componentes do rotor:
Mas
e
não depende de
, então
e
. Logo
.
De forma análoga,
pois
não depende de
e
.
Passo 13
Conclusão da segunda parte: todas as componentes do rotor são zero, então
Intuição rápida: a expressão gerou termos que se cancelam quando derivamos (produtos com derivadas mistas), e as dependências apenas em
eliminaram derivadas em
, tornando tudo bem simples.