(2,5 pontos) Seja o sistema de coordenadas esférico \left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) definido de acordo com as relações
x_{1}=q_{1} \operatorname{sen} q_{2} \cos q_{3}, \quad x_{2}=q_{1} \operatorname{sen} q_{2} \operatorname{sen} q_{3}, \quad x_{3}=q_{1} \cos q_{2}
(a) Determine os fatores de escala. (b) Um certo campo de força é dado por:
\vec{F}=\frac{2 P \cos q_{2}}{q_{1}^{3}} \hat{e}_{1}+\frac{P \operatorname{sen} q_{2}}{q_{1}^{3}} \hat{e}_{2}
onde r \geq P / 2. Calcule \vec{\nabla} \times \vec{F}. O campo \vec{F} é conservativo? Se isso for verdade, então determine a função escalar \psi tal que \vec{F}=-\vec{\nabla} \psi.

Passo 1

O enunciado dá as transformações entre coordenadas cartesianas (x_{1},x_{2},x_{3}) e um sistema esférico \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right):
x_{1}=q_{1}\sin q_{2}\cos q_{3},\quad x_{2}=q_{1}\sin q_{2}\sin q_{3},\quad x_{3}=q_{1}\cos q_{2}.
As perguntas são:
  1. (a) Determinar os fatores de escala h_{1},h_{2},h_{3} associados às coordenadas (q_{1},q_{2},q_{3}).
  2. (b) Para o campo dado
\vec{F}=\frac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}}\hat{e}_{1}+\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}}\hat{e}_{2},
com q_{1}\ge P/2, calcular \vec{\nabla}\times\vec{F}. Verificar se \vec{F} é conservativo e, se for, encontrar uma função escalar \psi tal que \vec{F}=-\vec{\nabla}\psi.
As informações relevantes: as componentes de \vec{F} estão na base ortonormal dos vetores unitários \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3} associados às direções de q_{1},q_{2},q_{3} (coordenadas ortogonais). O domínio é a região exterior da esfera de raio P/2 (incluindo a superfície), isto é q_{1}\ge P/2.

Passo 2

Entendendo o que são os fatores de escala e como calculá‑los (mini-aula curta e prática).
  • Em coordenadas curvilíneas ortogonais, o fator de escala h_{i} mede quanto um pequeno incremento \mathrm{d}q_{i} na coordenada q_{i} estica o vetor posição em espaço físico. Matematicamente:
h_{i}=\sqrt{\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial q_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial q_{i}}\right)^{2}}.
  • Aqui x_{1},x_{2},x_{3} são funções de (q_{1},q_{2},q_{3}) dadas no enunciado. Vamos calcular \dfrac{\partial x_{k}}{\partial q_{i}} para cada i e obter h_{i} pelo quadrado da soma dos quadrados dessas derivadas. Não pule etapas: compute derivadas explicitamente.

Passo 3

Cálculo de h_{1}.
Derivadas parciais em relação a q_{1}:
\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{1}}=\sin q_{2}\cos q_{3},\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial q_{1}}=\sin q_{2}\sin q_{3},\qquad \frac{\partial x_{3}}{\partial q_{1}}=\cos q_{2}.
Agora aplicando a fórmula:
h_{1}=\sqrt{(\sin q_{2}\cos q_{3})^{2}+(\sin q_{2}\sin q_{3})^{2}+(\cos q_{2})^{2}}.
Simplificando o somatório dos quadrados: (\sin q_{2}\cos q_{3})^{2}+(\sin q_{2}\sin q_{3})^{2}=\sin^{2}q_{2}(\cos^{2}q_{3}+\sin^{2}q_{3})=\sin^{2}q_{2}. Então
h_{1}=\sqrt{\sin^{2}q_{2}+\cos^{2}q_{2}}=\sqrt{1}=1.

Passo 4

Cálculo de h_{2}.
Derivadas parciais em relação a q_{2}:
\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{2}}=q_{1}\cos q_{2}\cos q_{3},\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial q_{2}}=q_{1}\cos q_{2}\sin q_{3},\qquad \frac{\partial x_{3}}{\partial q_{2}}=-q_{1}\sin q_{2}.
Agora
h_{2}=\sqrt{(q_{1}\cos q_{2}\cos q_{3})^{2}+(q_{1}\cos q_{2}\sin q_{3})^{2}+(-q_{1}\sin q_{2})^{2}}.
Factorando q_{1}^{2}:
h_{2}=q_{1}\sqrt{\cos^{2}q_{2}(\cos^{2}q_{3}+\sin^{2}q_{3})+\sin^{2}q_{2}} = q_{1}\sqrt{\cos^{2}q_{2}+\sin^{2}q_{2}}=q_{1}.

Passo 5

Cálculo de h_{3}.
Derivadas parciais em relação a q_{3}:
\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{3}}=-q_{1}\sin q_{2}\sin q_{3},\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial q_{3}}=q_{1}\sin q_{2}\cos q_{3},\qquad \frac{\partial x_{3}}{\partial q_{3}}=0.
Logo
h_{3}=\sqrt{(-q_{1}\sin q_{2}\sin q_{3})^{2}+(q_{1}\sin q_{2}\cos q_{3})^{2}+0^{2}} = q_{1}\sin q_{2}\sqrt{\sin^{2}q_{3}+\cos^{2}q_{3}}=q_{1}\sin q_{2}.

Passo 6

Resumo das respostas da parte (a) (repetindo de forma compacta para fixar):
h_{1}=1,\qquad h_{2}=q_{1},\qquad h_{3}=q_{1}\sin q_{2}.
(Pequeno comentário amistoso: esses são os fatores de escala clássicos da coordenada esférica com q_{1}=r,\;q_{2}=\theta,\;q_{3}=\varphi.)

Passo 7

Preparação para calcular o rotacional (mini-aula sobre a fórmula que vamos usar).
  • Em coordenadas curvilíneas ortogonais com fatores de escala h_{1},h_{2},h_{3}, se um campo vetorial tem componentes A_{i} na base \hat{e}_{i} (unidades locais), o rotacional tem componentes:
(\nabla\times\vec{A})_{1}=\frac{1}{h_{2}h_{3}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{3}A_{3})-\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{2}A_{2})\right),
(\nabla\times\vec{A})_{2}=\frac{1}{h_{3}h_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{1}A_{1})-\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{3}A_{3})\right),
(\nabla\times\vec{A})_{3}=\frac{1}{h_{1}h_{2}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{2}A_{2})-\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{1}A_{1})\right).
  • Aqui A_{i} são as componentes na base unitária local \hat{e}_{i}. No nosso caso \vec{F} tem F_{1} e F_{2} dadas e F_{3}=0. Vamos aplicar essas fórmulas com h_{1},h_{2},h_{3} já achados.

Passo 8

Cálculo de (\nabla\times\vec{F})_{1}.
Dados:
F_{1}=\frac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}},\qquad F_{2}=\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}},\qquad F_{3}=0,
e h_{2}=q_{1},\;h_{3}=q_{1}\sin q_{2}. Pela fórmula:
(\nabla\times\vec{F})_{1}=\frac{1}{h_{2}h_{3}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{3}F_{3})-\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{2}F_{2})\right).
Como F_{3}=0, o primeiro termo é zero. Além disso h_{2}F_{2}=q_{1}\cdot\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}}=\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{2}} não depende de q_{3}, logo
\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{2}F_{2})=0.
Portanto
(\nabla\times\vec{F})_{1}=0.

Passo 9

Cálculo de (\nabla\times\vec{F})_{2}.
Pela fórmula:
(\nabla\times\vec{F})_{2}=\frac{1}{h_{3}h_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{1}F_{1})-\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{3}F_{3})\right).
Aqui h_{1}=1 e novamente F_{3}=0 faz o segundo termo ser zero. O primeiro termo é \dfrac{\partial}{\partial q_{3}}(F_{1}), mas F_{1}=\dfrac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}} não depende de q_{3}, então esse derivado também é zero. Logo
(\nabla\times\vec{F})_{2}=0.

Passo 10

Cálculo de (\nabla\times\vec{F})_{3}.
Pela fórmula:
(\nabla\times\vec{F})_{3}=\frac{1}{h_{1}h_{2}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{2}F_{2})-\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{1}F_{1})\right).
Calculamos já h_{2}F_{2}=\dfrac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{2}} e h_{1}F_{1}=F_{1}=\dfrac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}}.
  • Derivada em relação a q_{1}:
\frac{\partial}{\partial q_{1}}\!\left(\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{2}}\right) = P\sin q_{2}\cdot\frac{\partial}{\partial q_{1}}(q_{1}^{-2}) = P\sin q_{2}\cdot(-2)q_{1}^{-3} = -\frac{2P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}}.
  • Derivada em relação a q_{2}:
\frac{\partial}{\partial q_{2}}\!\left(\frac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}}\right) = \frac{2P}{q_{1}^{3}}\cdot(-\sin q_{2}) = -\frac{2P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}}.
Subtraindo:
\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{2}F_{2})-\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{1}F_{1}) = -\frac{2P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}} -\left(-\frac{2P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}}\right)=0.
Como h_{1}h_{2}=1\cdot q_{1}=q_{1}, temos
(\nabla\times\vec{F})_{3}=0.

Passo 11

Conclusão do cálculo do rotacional.
Juntando os três componentes:
\vec{\nabla}\times\vec{F}=0\;\hat{e}_{1}+0\;\hat{e}_{2}+0\;\hat{e}_{3}=\vec{0}.
Portanto o rotacional é nulo em toda a região onde as fórmulas válidas (isto é para q_{1}>0 e pontos onde \sin q_{2} não causa indeterminação na base — em particular no domínio dado q_{1}\ge P/2>0 tudo está bem).

Passo 12

Verificação de que \vec{F} é conservativo e encontro do potencial \psi (mini-aula sobre conexão entre rotacional e potencial).
  • Em \mathbb{R}^{3}, se um campo vetorial é definido em uma região simplesmente conexa e tem \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em toda a região, então \vec{F} é conservativo (ou seja, existe \psi tal que \vec{F}=-\nabla\psi).
  • O domínio dado q_{1}\ge P/2 é a região exterior à bola de raio P/2. Essa região em \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexa (em 3D não aparecem buracos topológicos como em 2D). Assim, com \nabla\times\vec{F}=\vec{0} no domínio, \vec{F} é conservativo.
Agora vamos achar explicitamente \psi usando as componentes e a fórmula do gradiente em coordenadas ortogonais:
\nabla\psi=\frac{1}{h_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}}\hat{e}_{1}+\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}\hat{e}_{2}+\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}\hat{e}_{3}.
Como \vec{F}=-\nabla\psi, obtemos as equações escalares:
F_{1}=-\frac{1}{h_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}}=-\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}},
F_{2}=-\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}=-\frac{1}{q_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}},
F_{3}=-\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}=-\frac{1}{q_{1}\sin q_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}.

Passo 13

Integração para obter \psi.
  • Da primeira equação:
\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}}=-F_{1}=-\frac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}}.
Integramos em q_{1}, tratando q_{2},q_{3} como constantes:
\psi(q_{1},q_{2},q_{3})=\int -\frac{2P\cos q_{2}}{q_{1}^{3}}\,\mathrm{d}q_{1}+C(q_{2},q_{3}).
Calcule a integral: \displaystyle \int q_{1}^{-3}\,\mathrm{d}q_{1}=-\frac{1}{2}q_{1}^{-2}. Então
\psi(q_{1},q_{2},q_{3})= -2P\cos q_{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}q_{1}^{-2}\right)+C(q_{2},q_{3}) = \frac{P\cos q_{2}}{q_{1}^{2}}+C(q_{2},q_{3}).
  • Agora use a segunda equação para determinar C. Temos
\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}=\frac{\partial}{\partial q_{2}}\!\left(\frac{P\cos q_{2}}{q_{1}^{2}}+C(q_{2},q_{3})\right) = -\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{2}}+\frac{\partial C}{\partial q_{2}}.
Por outro lado a equação do componente 2 dá
\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}=-q_{1}F_{2}=-q_{1}\cdot\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{3}}=-\frac{P\sin q_{2}}{q_{1}^{2}}.
Comparando as duas expressões para \partial\psi/\partial q_{2} vemos que \partial C/\partial q_{2}=0, portanto C não depende de q_{2}: C=C(q_{3}).
  • Finalmente use a terceira equação para q_{3}:
0=F_{3}=-\frac{1}{q_{1}\sin q_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}
que implica \partial\psi/\partial q_{3}=0. Assim C'(q_{3})=0 e C é constante global.
Portanto a função escalar potencial (até uma constante arbitrária) é
\psi(q_{1},q_{2},q_{3})=\frac{P\cos q_{2}}{q_{1}^{2}}+\text{const}.

Resposta

(a) h_{1}=1,\quad h_{2}=q_{1},\quad h_{3}=q_{1}\sin q_{2}.
(b) \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}. O campo é conservativo no domínio q_{1}\ge P/2. Um potencial satisfazendo \vec{F}=-\vec{\nabla}\psi é \displaystyle \psi(q_{1},q_{2},q_{3})=\frac{P\cos q_{2}}{q_{1}^{2}}+\text{const}.

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