(2,5 pontos) Seja o sistema de coordenadas esférico
definido de acordo com as relações
(a) Determine os fatores de escala. (b) Um certo campo de força é dado por:
onde
. Calcule
. O campo
é conservativo? Se isso for verdade, então determine a função escalar
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as transformações entre coordenadas cartesianas
e um sistema esférico
:
As perguntas são:
- (a) Determinar os fatores de escala
associados às coordenadas . - (b) Para o campo dado
com
, calcular
. Verificar se
é conservativo e, se for, encontrar uma função escalar
tal que
.
As informações relevantes: as componentes de
estão na base ortonormal dos vetores unitários
associados às direções de
(coordenadas ortogonais). O domínio é a região exterior da esfera de raio
(incluindo a superfície), isto é
.
Passo 2
Entendendo o que são os fatores de escala e como calculá‑los (mini-aula curta e prática).
- Em coordenadas curvilíneas ortogonais, o fator de escala
mede quanto um pequeno incremento na coordenada estica o vetor posição em espaço físico. Matematicamente:
- Aqui
são funções de dadas no enunciado. Vamos calcular para cada e obter pelo quadrado da soma dos quadrados dessas derivadas. Não pule etapas: compute derivadas explicitamente.
Passo 3
Cálculo de
.
Derivadas parciais em relação a :
Derivadas parciais em relação a
Agora aplicando a fórmula:
Simplificando o somatório dos quadrados:
. Então
Passo 4
Cálculo de
.
Derivadas parciais em relação a :
Derivadas parciais em relação a
Agora
Factorando
:
Passo 5
Cálculo de
.
Derivadas parciais em relação a :
Derivadas parciais em relação a
Logo
Passo 6
Resumo das respostas da parte (a) (repetindo de forma compacta para fixar):
(Pequeno comentário amistoso: esses são os fatores de escala clássicos da coordenada esférica com
.)
Passo 7
Preparação para calcular o rotacional (mini-aula sobre a fórmula que vamos usar).
- Em coordenadas curvilíneas ortogonais com fatores de escala
, se um campo vetorial tem componentes na base (unidades locais), o rotacional tem componentes:
- Aqui
são as componentes na base unitária local . No nosso caso tem e dadas e . Vamos aplicar essas fórmulas com já achados.
Passo 8
Cálculo de
.
Dados:
Dados:
e
. Pela fórmula:
Como
, o primeiro termo é zero. Além disso
não depende de
, logo
Portanto
Passo 9
Cálculo de
.
Pela fórmula:
Pela fórmula:
Aqui
e novamente
faz o segundo termo ser zero. O primeiro termo é
, mas
não depende de
, então esse derivado também é zero. Logo
Passo 10
Cálculo de
.
Pela fórmula:
Pela fórmula:
Calculamos já
e
.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Subtraindo:
Como
, temos
Passo 11
Conclusão do cálculo do rotacional.
Juntando os três componentes:
Juntando os três componentes:
Portanto o rotacional é nulo em toda a região onde as fórmulas válidas (isto é para
e pontos onde
não causa indeterminação na base — em particular no domínio dado
tudo está bem).
Passo 12
Verificação de que
é conservativo e encontro do potencial
(mini-aula sobre conexão entre rotacional e potencial).
- Em
, se um campo vetorial é definido em uma região simplesmente conexa e tem em toda a região, então é conservativo (ou seja, existe tal que ). - O domínio dado
é a região exterior à bola de raio . Essa região em é simplesmente conexa (em 3D não aparecem buracos topológicos como em 2D). Assim, com no domínio, é conservativo.
Agora vamos achar explicitamente
usando as componentes e a fórmula do gradiente em coordenadas ortogonais:
Como
, obtemos as equações escalares:
Passo 13
Integração para obter
.
- Da primeira equação:
Integramos em
, tratando
como constantes:
Calcule a integral:
. Então
- Agora use a segunda equação para determinar
. Temos
Por outro lado a equação do componente 2 dá
Comparando as duas expressões para
vemos que
, portanto
não depende de
:
.
- Finalmente use a terceira equação para
:
que implica
. Assim
e
é constante global.
Portanto a função escalar potencial (até uma constante arbitrária) é
Resposta
(a)
(b)
O campo é conservativo no domínio
. Um potencial satisfazendo
é