( 2,5 pontos) Utilize o teorema da divergência para calcular
onde
é a superfície fechada que consiste no cilindro
e dois discos circulares
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a superfície fechada formada pelo cilindro lateral
e pelos dois discos planos (base e topo)
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é fechada (cilindro com suas duas bases). - A forma diferencial de superfície está escrita no formato padrão de fluxo
- Os coeficientes são
, e .
Passo 2
Interpretação da integral como fluxo de um campo vetorial. Quando a integral de superfície está na forma
ela é igual ao fluxo do campo vetorial
através de
, ou seja
Aqui, portanto,
Passo 3
Apresento o Teorema da Diversão (Teorema da Divergência) e como ele nos ajuda. O teorema diz que, para uma superfície fechada
que delimita um volume
,
Aqui
é a divergência do campo, definida por
Nós usaremos este teorema porque
é fechada e o volume
é o cilindro sólido de raio
e altura
, que é uma região muito conveniente para integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Calculo a divergência de
passo a passo. Lembrando que
,
,
:
Somando,
Passo 5
Agora monto a integral tripla pelo teorema da divergência:
onde
é o cilindro sólido
.
Para integrar é conveniente usar coordenadas cilíndricas:
Para integrar é conveniente usar coordenadas cilíndricas:
com jacobiano
, e os limites
Substituindo
temos o integrando
Passo 6
Calculo a integral por separação das variáveis:
Faço cada integral:
- Integral em
:
- Integral em
. Uso a identidade , então
- Integral em
:
Passo 7
Juntando os resultados:
Esse é o valor final do fluxo da superfície
.