( 2,5 pontos) Utilize o teorema da divergência para calcular
I=\int_{S}\left(x_{1}^{3} d x_{2} d x_{3}+x_{1}^{2} x_{2} d x_{3} d x_{1}+x_{1}^{2} x_{3} d x_{1} d x_{2}\right)
onde S é a superfície fechada que consiste no cilindro x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2}, 0 \leq x_{3} \leq b e dois discos circulares x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2}, z=0 e x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2}, z=b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{S}\left(x_{1}^{3}\,d x_{2} d x_{3}+x_{1}^{2} x_{2}\,d x_{3} d x_{1}+x_{1}^{2} x_{3}\,d x_{1} d x_{2}\right),
onde S é a superfície fechada formada pelo cilindro lateral
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2},\quad 0\le x_{3}\le b
e pelos dois discos planos (base e topo)
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le a^{2},\quad x_{3}=0\quad\text{e}\quad x_{3}=b.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é fechada (cilindro com suas duas bases).
  • A forma diferencial de superfície está escrita no formato padrão de fluxo P\,d x_{2} d x_{3}+Q\,d x_{3} d x_{1}+R\,d x_{1} d x_{2}.
  • Os coeficientes são P=x_{1}^{3}, Q=x_{1}^{2}x_{2} e R=x_{1}^{2}x_{3}.

Passo 2

Interpretação da integral como fluxo de um campo vetorial. Quando a integral de superfície está na forma
\int_{S}\left(P\,d x_{2} d x_{3}+Q\,d x_{3} d x_{1}+R\,d x_{1} d x_{2}\right)
ela é igual ao fluxo do campo vetorial
\mathbf{F}=(P,Q,R)
através de S, ou seja
I=\int_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Aqui, portanto,
\mathbf{F}=(x_{1}^{3},\;x_{1}^{2}x_{2},\;x_{1}^{2}x_{3}).

Passo 3

Apresento o Teorema da Diversão (Teorema da Divergência) e como ele nos ajuda. O teorema diz que, para uma superfície fechada S que delimita um volume V,
\int_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Aqui \operatorname{div}\mathbf{F} é a divergência do campo, definida por
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x_{1}}+\frac{\partial Q}{\partial x_{2}}+\frac{\partial R}{\partial x_{3}}.
Nós usaremos este teorema porque S é fechada e o volume V é o cilindro sólido de raio a e altura b, que é uma região muito conveniente para integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Calculo a divergência de \mathbf{F} passo a passo. Lembrando que P=x_{1}^{3}, Q=x_{1}^{2}x_{2}, R=x_{1}^{2}x_{3}:
\frac{\partial P}{\partial x_{1}}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(x_{1}^{3})=3x_{1}^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x_{2}}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}(x_{1}^{2}x_{2})=x_{1}^{2},
\frac{\partial R}{\partial x_{3}}=\frac{\partial}{\partial x_{3}}(x_{1}^{2}x_{3})=x_{1}^{2}.
Somando,
\operatorname{div}\mathbf{F}=3x_{1}^{2}+x_{1}^{2}+x_{1}^{2}=5x_{1}^{2}.

Passo 5

Agora monto a integral tripla pelo teorema da divergência:
I=\iiint_{V}5x_{1}^{2}\,dV,
onde V é o cilindro sólido \{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le a^{2},\\\ 0\le x_{3}\le b\}.
Para integrar é conveniente usar coordenadas cilíndricas:
x_{1}=r\cos\theta,\quad x_{2}=r\sin\theta,\quad x_{3}=z,
com jacobiano dV=r\,dr\,d\theta\,dz, e os limites
0\le r\le a,\quad 0\le \theta\le 2\pi,\quad 0\le z\le b.
Substituindo x_{1}^{2}=(r\cos\theta)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta temos o integrando
5x_{1}^{2}\,dV=5(r^{2}\cos^{2}\theta)(r\,dr\,d\theta\,dz)=5r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 6

Calculo a integral por separação das variáveis:
I=5\int_{z=0}^{b}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dz.
Faço cada integral:
  • Integral em r:
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
  • Integral em \theta. Uso a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}, então
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\left[ \theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.
  • Integral em z:
\int_{0}^{b} dz=b.

Passo 7

Juntando os resultados:
I=5\cdot b\cdot \pi\cdot \frac{a^{4}}{4}=\frac{5\pi a^{4} b}{4}.
Esse é o valor final do fluxo da superfície S.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi a^{4} b}{4}

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