Questāo: Considere o efeito Doppler para o caso de uma fonte emissora (de som) em repouso e um observador em movimento. Mostre (demonstre/prove) que a frequência detectada pelo observador será:
onde
é a frequência originalmente emitida pela fonte,
é a velocidade do som no meio em questāo,
é a velocidade do observador. Mostre que o sinal de positivo corresponde ao movimento do observador na direção da fonte e o sinal negativo corresponde ao movimento do observador na direção contrária à fonte.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para uma fonte sonora em repouso e um observador em movimento, a frequência detectada pelo observador é
onde estão dadas as quantidades: a frequência emitida
, a velocidade do som no meio
e a velocidade do observador
. Também pede para mostrar que o sinal
corresponde ao movimento do observador em direção à fonte e o sinal
corresponde ao movimento do observador em direção contrária à fonte. Vou listar explicitamente as informações fornecidas:
Perguntas do enunciado:
- Mostrar a expressão
. - Explicar qual sinal (
ou ) corresponde a cada direção do movimento do observador.
Passo 2
Conceito básico que usaremos: ondas sonoras são periódicas e estão caracterizadas por frequência
(ciclos por segundo) e comprimento de onda
(distância entre cristas consecutivas). Existe a relação fundamental entre velocidade da onda, comprimento de onda e frequência:
Explicação didática: aqui
é a velocidade de propagação das cristas da onda no meio (em m/s, por exemplo),
é a distância entre cristas consecutivas (em m) e
é quantas cristas passam por um ponto fixo por segundo (em Hz). Reorganizando essa relação obtemos
. Vou usar essa expressão adiante.
Passo 3
Idéia-chave para o observador em movimento: a frequência que o observador “escuta” é o número de cristas de onda que ele encontra por segundo. Se o observador se move em relação ao meio, a taxa com que ele encontra cristas é dada pela velocidade relativa entre o observador e as frentes de onda dividida pelo comprimento de onda
. Assim, de forma geral,
Explicação didática: número de cristas por segundo = (quantos metros de crista por segundo chegam ao observador) ÷ (metros por crista). A quantidade “metros de crista por segundo que chegam” é a velocidade relativa entre as cristas (que se movem a velocidade
no meio) e o observador (que se move a
) — dependendo da direção, essa velocidade relativa será
.
Passo 4
Determinar a velocidade relativa dependendo da direção:
- Se o observador se move em direção à fonte, ele caminha “no encontro” das cristas; então a velocidade relativa com que as cristas alcançam o observador é
Explicação: as cristas vêm a
e o observador vai ao encontro delas a
, então a taxa de encontro soma as velocidades.
- Se o observador se afasta da fonte, ele “corre para longe” das cristas; então a velocidade relativa é
Explicação: as cristas ainda se movem a
na direção do observador, mas o observador se afasta a
, reduzindo a taxa de encontro. Observação física: se
e o observador corre na mesma direção das cristas, ele não encontra novas cristas, então
e a frequência percebida é zero — isso faz sentido físico: ele “acompanha” uma crista e não recebe ciclos adicionais.
Passo 5
Agora substituímos a expressão para
(do Passo 2) na fórmula do Passo 3. Começamos com
Substituindo
obtemos
Agora trocar
por
(conforme o caso:
para movimento em direção à fonte,
para afastamento) produz
Aqui cada símbolo significa:
é a frequência percebida pelo observador,
é a frequência emitida pela fonte,
é a velocidade do som no meio, e
é a velocidade do observador relativa ao meio.
Passo 6
Interpretação física dos sinais (resumindo em palavras simples e intuitivas):
- Sinal
: quando o observador se move em direção à fonte, ele encontra mais cristas por segundo do que estaria parado, logo a frequência percebida aumenta — usamos . - Sinal
: quando o observador se afasta da fonte, ele encontra menos cristas por segundo, logo a frequência percebida diminui — usamos .
Dica prática para a prova: pergunte-se sempre se o movimento do observador aumenta ou diminui a taxa de encontro com as cristas; se aumenta, escolha, se diminui, escolha .
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
,
e
.
- Observador movendo-se em direção à fonte:
- Observador movendo-se afastando-se da fonte:
Isso mostra que a aproximação aumenta a frequência percebida e o afastamento diminui, de forma quantitativa.
Resposta
(usar o sinal
quando o observador se move em direção à fonte; usar o sinal
quando o observador se afasta da fonte)