Questāo: Considere o efeito Doppler para o caso de uma fonte emissora (de som) em repouso e um observador em movimento. Mostre (demonstre/prove) que a frequência detectada pelo observador será:
f^{\prime}=f \frac{v \pm v_{0}}{v}
onde f é a frequência originalmente emitida pela fonte, v é a velocidade do som no meio em questāo, v_{o} é a velocidade do observador. Mostre que o sinal de positivo corresponde ao movimento do observador na direção da fonte e o sinal negativo corresponde ao movimento do observador na direção contrária à fonte.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para uma fonte sonora em repouso e um observador em movimento, a frequência detectada pelo observador é
f' = f \frac{v \pm v_{o}}{v},
onde estão dadas as quantidades: a frequência emitida \,f, a velocidade do som no meio \,v e a velocidade do observador \,v_{o}. Também pede para mostrar que o sinal + corresponde ao movimento do observador em direção à fonte e o sinal - corresponde ao movimento do observador em direção contrária à fonte. Vou listar explicitamente as informações fornecidas:
\text{Dados:}\quad f,\; v,\; v_{o};\qquad \text{Fonte em repouso no meio; observador movendo-se com velocidade } v_{o}.
Perguntas do enunciado:
  1. Mostrar a expressão \,f' = f \dfrac{v \pm v_{o}}{v}.
  2. Explicar qual sinal ( + ou -) corresponde a cada direção do movimento do observador.

Passo 2

Conceito básico que usaremos: ondas sonoras são periódicas e estão caracterizadas por frequência \,f (ciclos por segundo) e comprimento de onda \,\lambda (distância entre cristas consecutivas). Existe a relação fundamental entre velocidade da onda, comprimento de onda e frequência:
v = \lambda f.
Explicação didática: aqui \,v é a velocidade de propagação das cristas da onda no meio (em m/s, por exemplo), \,\lambda é a distância entre cristas consecutivas (em m) e \,f é quantas cristas passam por um ponto fixo por segundo (em Hz). Reorganizando essa relação obtemos \displaystyle \lambda = \frac{v}{f}. Vou usar essa expressão adiante.

Passo 3

Idéia-chave para o observador em movimento: a frequência que o observador “escuta” é o número de cristas de onda que ele encontra por segundo. Se o observador se move em relação ao meio, a taxa com que ele encontra cristas é dada pela velocidade relativa entre o observador e as frentes de onda dividida pelo comprimento de onda \,\lambda. Assim, de forma geral,
f' = \frac{\text{velocidade relativa com que as cristas chegam ao observador}}{\lambda}.
Explicação didática: número de cristas por segundo = (quantos metros de crista por segundo chegam ao observador) ÷ (metros por crista). A quantidade “metros de crista por segundo que chegam” é a velocidade relativa entre as cristas (que se movem a velocidade v no meio) e o observador (que se move a v_{o}) — dependendo da direção, essa velocidade relativa será v \pm v_{o}.

Passo 4

Determinar a velocidade relativa dependendo da direção:
  • Se o observador se move em direção à fonte, ele caminha “no encontro” das cristas; então a velocidade relativa com que as cristas alcançam o observador é
v_{\text{rel}} = v + v_{o}.
Explicação: as cristas vêm a v e o observador vai ao encontro delas a v_{o}, então a taxa de encontro soma as velocidades.
  • Se o observador se afasta da fonte, ele “corre para longe” das cristas; então a velocidade relativa é
v_{\text{rel}} = v - v_{o}.
Explicação: as cristas ainda se movem a v na direção do observador, mas o observador se afasta a v_{o}, reduzindo a taxa de encontro. Observação física: se v_{o}=v e o observador corre na mesma direção das cristas, ele não encontra novas cristas, então v_{\text{rel}}=0 e a frequência percebida é zero — isso faz sentido físico: ele “acompanha” uma crista e não recebe ciclos adicionais.

Passo 5

Agora substituímos a expressão para \lambda (do Passo 2) na fórmula do Passo 3. Começamos com
f' = \frac{v_{\text{rel}}}{\lambda}.
Substituindo \displaystyle \lambda = \frac{v}{f} obtemos
f' = \frac{v_{\text{rel}}}{v/f} = f\frac{v_{\text{rel}}}{v}.
Agora trocar v_{\text{rel}} por v \pm v_{o} (conforme o caso: + para movimento em direção à fonte, - para afastamento) produz
f' = f \frac{v \pm v_{o}}{v}.
Aqui cada símbolo significa: \,f' é a frequência percebida pelo observador, \,f é a frequência emitida pela fonte, \,v é a velocidade do som no meio, e \,v_{o} é a velocidade do observador relativa ao meio.

Passo 6

Interpretação física dos sinais (resumindo em palavras simples e intuitivas):
  • Sinal +: quando o observador se move em direção à fonte, ele encontra mais cristas por segundo do que estaria parado, logo a frequência percebida aumenta — usamos \,v+v_{o}.
  • Sinal -: quando o observador se afasta da fonte, ele encontra menos cristas por segundo, logo a frequência percebida diminui — usamos \,v-v_{o}.
    Dica prática para a prova: pergunte-se sempre se o movimento do observador aumenta ou diminui a taxa de encontro com as cristas; se aumenta, escolha +, se diminui, escolha -.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha \,f=440\\ \text{Hz}, \,v=340\\ \text{m/s} e \,v_{o}=10\\ \text{m/s}.
  • Observador movendo-se em direção à fonte:
f' = 440\cdot\frac{340+10}{340} = 440\cdot\frac{350}{340} = 440\cdot 1,029411\ldots \approx 452,9\\ \text{Hz}.
  • Observador movendo-se afastando-se da fonte:
f' = 440\cdot\frac{340-10}{340} = 440\cdot\frac{330}{340} = 440\cdot 0,970588\ldots \approx 426,7\\ \text{Hz}.
Isso mostra que a aproximação aumenta a frequência percebida e o afastamento diminui, de forma quantitativa.

Resposta

f' = f \frac{v \pm v_{o}}{v}
(usar o sinal + quando o observador se move em direção à fonte; usar o sinal - quando o observador se afasta da fonte)

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